八戸工業大学の過去問【2021年一般入試】

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今回の問題

八戸工業大学の2021年一般入試の問題です。

この問題の一部もマーク方式の問題にして紹介しました。記事を探してみたら2年前に書いたものでした。Markdownを導入する前の記事だったので、解説がかなり雑ですね。今回は数式を入れてしっかりと解説していきたいと思います。

以前書いた記事はこちらから。↓（問題順にしています）

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

去年より計算量が減り、易化したように思います。教科書の問題を全問解けるくらいの実力があれば大丈夫かと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問1

不等式を解いていきます。

$\begin{eqnarray*} 2x(4x+11)&\lt &21\\ 8x^{2}+22x-21&\lt &0\\ (2x+7)(4x-3)&\lt &0\end{eqnarray*}$

よって、不等式の解は $\displaystyle -\frac{7}{2}\lt x\lt \frac{3}{4}$ ですので、これを満たす整数は $-3,\ -2,\ -1,\ 0$ の4つです。

問2

2次関数 $y=4x^{2}+3kx+5$ のグラフと直線 $y=-kx$ との交点の $x$ 座標は $x$ の2次方程式

$4x^{2}+3kx+5=-kx$ …①

の実数解になります。方程式①を整理すると

$4x^{2}+4kx+5=0$

となります。この方程式の判別式を $D$ とすると

$D/4=4k^{2}-20$

となります。2次関数 $y=4x^{2}+3kx+5$ のグラフと直線 $y=-kx$ が接する条件は $D=0$ ですので、この条件を満たすような $k$ の値は $k=\pm \sqrt{5}$ ですが、問題の要請で $k\lt 0$ となっていますので $k=-\sqrt{5}$ が答となります。

問3

2次関数の式を変形（平方完成）すると

$\displaystyle y=-\left( x-\frac{a}{2}\right) ^{2}+\frac{a^{2}}{4}+24$

となります。この関数の最大値が $49$ ですので、 $a$ についての方程式

$\displaystyle \frac{a^{2}}{4}+24=49$

が成り立ちます。この方程式を解くと

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}}{4}+24&=&49\\ \frac{a^{2}}{4}&=&25\\ a^{2}&=&100\end{eqnarray*}$

問題文の要請から $a\gt 0$ となっていますので $a=10$ が答となります。

問4

求める2次関数を $y=ax^{2}+bx+c$ とおきます。点 $A(1,-7)$ を通りますので

$a+b+c=-7$

点 $B(2,-4)$ を通りますので

$4a+2b+c=-4$

点 $C(-3,41)$ を通りますので

$9a-3b+c=41$

が成り立っています。したがって、次の連立方程式を解くことになります。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b+c&=&-7\\ 4a+2b+c&=&-4\\ 9a-3b+c&=&41\end{array}\right.$

この連立方程式の解は $(a,b,c)=(3,-6,-4)$ ですので、求める2次関数は $y=3x^{2}-6x-4$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問1

$0^{\circ }\lt \theta \lt 90^{\circ }$ のとき $\sin{\theta }\gt 0$ です。三角比の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ より

$\begin{eqnarray*} \sin{\theta }&=&\sqrt{1-\left( \frac{2}{3}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{4}{9}}\\ &=&\sqrt{\frac{5}{9}}\\ &=&\frac{\sqrt{5}}{3}\end{eqnarray*}$

となります。三角比の相互関係 $\displaystyle \frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}=\tan{\theta }$ より $\displaystyle \tan{\theta }=\frac{\sqrt{5}}{3}$ となります。

問2

条件式から $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の値を求めると

$\begin{eqnarray*} (\sin{\theta }+\cos{\theta })^{2}&=&\frac{1}{3}\\ \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }&=&\frac{1}{3}\\ 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&\frac{1}{3}\\ 2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{2}{3}\\ \sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{1}{3}\end{eqnarray*}$

となります。したがって、三角比の相互関係 $\displaystyle \frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}=\tan{\theta }$ を用いると

$\begin{eqnarray*} \tan{\theta }+\frac{1}{\tan{\theta }}&=&\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}+\frac{\cos{\theta }}{\sin{\theta }}\\ &=&\frac{\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }}{\sin{\theta }\cos{\theta }}\\ &=&\frac{1}{-\frac{1}{3}}\\ &=&-3\end{eqnarray*}$

問3

三角比の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ を用いると、 $\sin{B}\gt 0$ なので

$\begin{eqnarray*} \sin{B}&=&\sqrt{1-\left( \frac{4}{5}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{16}{25}}\\ &=&\sqrt{\frac{9}{25}}\\ &=&\frac{3}{5}\end{eqnarray*}$

となります。したがって、 $\triangle ABC$ の面積は次のように計算して求められます。

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times AB\times BC\times \sin{B}&=&\frac{1}{2}\times 7\times 3\times \frac{3}{5}\\ &=&\frac{63}{10}\end{eqnarray*}$

問4

三角形の3つの辺の長さが与えられていますので、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \cos{A}&=&\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times AC}\\ &=&\frac{\frac{55}{4}+55-110}{2\times \frac{\sqrt{55}}{2}\times \sqrt{55}}\\ &=&\frac{55(\frac{1}{4}+1-2)}{55}\\ &=&\frac{1}{4}+1-2\\ &=&\frac{1}{4}+\frac{4}{4}-\frac{8}{4}\\ &=&-\frac{3}{4}\end{eqnarray*}$