マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2016年前期日程第4問】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今週は首都大学東京2015年・2016年の問題です。

今回は2016年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

係数に三角関数が含まれる方程式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2次関数の頂点を求めるには平方完成を行います。

 \displaystyle f(x)=(x-\cos{\theta })^{2}-\cos^{2}{\theta }-\sin^{2}{\theta }+\sin{\theta }+\frac{1}{2}

 \displaystyle =(x-\cos{\theta })^{2}+\sin{\theta }-\frac{1}{2}

となりますので、この2次方程式のグラフの頂点は \displaystyle \left( \cos{\theta },\sin{\theta }+\frac{1}{2}\right)となります。

方程式 f(x)=0が異なる2つの実数解を持つ条件は、 f(x)=0 xについての2次方程式ですので、判別式を Dとすると

 \displaystyle D/4=-\sin{\theta }+\frac{1}{2}

となります。求めるべき条件は D\gt 0となるような \theta の範囲ですので、これを求めると \displaystyle 0\leqq \theta \lt \frac{\pi }{6},\ \frac{5}{6}\pi \lt \theta \lt 2\piとなります。

このとき、 y=f(x) x軸とで囲まれる部分の面積を S(\theta ) f(x)=0の解を \alpha ,\ \beta (\alpha \lt \beta )とすると

 \displaystyle S(\theta )=-\int_{\alpha }^{\beta }f(t)dt

 \displaystyle =\frac{1}{6}(\beta -\alpha )^{3}=\frac{4}{3}(-\sin{\theta }+\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}

となります。したがって、 S(\theta ) \sin{\theta }=-1すなわち \displaystyle \theta =\frac{3}{2}\pi のとき最大値 \sqrt{6}をとります。

いかがだったでしょうか?

方程式の理論をきっちりとおさえれば解ける問題でした。

係数に三角関数が含まれていますが、このあたりも基本的な知識のみで解くことができます。

最後は積分 \displaystyle \frac{1}{6}公式を使うと計算が大変楽になります。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper