マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2016年前期日程第3問】

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今週は首都大学東京2015年・2016年の問題です。

今回は2016年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

不等式とさいころ投げの確率の問題が融合したものです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

さいころは大と小の区別がついていることに注意します。

確率の問題はルールを把握することから始めますが、ルールは大と小のさいころが出た目をそれぞれ p,\ qとすると

 (x-p)(x-q)\lt 0

を満たす自然数をホワイトボードに書くというものです。

ホワイトボードに 2だけ書かれる状況は、不等式の解が 1\lt x\lt 3になれば良いので、そのときのさいころの出目は

 (p,q)=(1,3),\ (3,1)

 2通りあります。したがって、ホワイトボードに 2だけ書かれる確率は

 \displaystyle \frac{2}{36}=\frac{1}{18}

ということになります。

ホワイトボードに何もかかれない状況は、不等式の解に自然数を含まなければ良いので、そのような状況は

 p qの値が同じ

 p qの値の差が 1

の2つが考えられます。このような目の出方は

 (p,q)=(1,1),\ (1,2),\ (2,1),\ (2,2),\ (2,3),\ (3,2)

 \hspace{3em}(3,3),\ (3,4),\ (4,3),\ (4,4),\ (4,5),\ (5,4)

 \hspace{3em}(5,5),\ (5,6),\ (6,5),\ (6,6)

 16通りありますので、ホワイトボードに何も書かれない確率は \displaystyle \frac{16}{36}=\frac{4}{9}となります。

ホワイトボードに書かれる自然数全体の集合を A B=\{ 2,3,5\}とするとき、 A\subset Bとなる状況は

(1)ホワイトボードに何も書かれていない

(2)ホワイトボードに 2だけ書かれている

(3)ホワイトボードに 3だけ書かれている

(4)ホワイトボードに 5だけ書かれている

(5)ホワイトボードに 2 3が書かれている

が考えられます。(1)と(2)は先ほど数えましたので、残りの3つの場合を数え上げます。

(3)を満たす出目は

 (p,q)=(2,4),\ (4,2)

(4)を満たす出目は

 (p,q)=(4,6),\ (6,4)

(5)を満たす出目は

 (p,q)=(1,4),\ (4,1)

となりますので、条件を満たす出目は 24通りあります。

したがって、 A\subset Bとなる確率は \displaystyle \frac{24}{36}=\frac{2}{3}ということになります。

いかがだったでしょうか?

丁寧に数え上げを行っていけば数えることができる問題でした。

数え上げをともなう確率の問題はルールを把握しないと数え上げることができませんので、どのような試行を行うかを理解することが最も重要です。

確率の問題は他の単元と融合して出されやすいので、幅広い知識も必要です。

 

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