九州女子大学の過去問【2020年一般入試C日程】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今回の問題

今回は九州女子大学の2020年一般入試C日程の問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

教科書の例や例題で出てきそうな問題ばかりです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

三角比と対称式に関する問題です。

三角比の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ と $\theta$ の取りうる値の範囲に注意して値を求めていきます。

(1)の問題

与えられている条件 $\displaystyle \sin{\theta }+\cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ の両辺を2乗します。そうすると

$\begin{eqnarray*} (\sin{\theta }+\cos{\theta })^{2}&=&\frac{3}{4}\\ \sin^{2}{\theta }+2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }&=&\frac{3}{4}\\ 1+2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&\frac{3}{4}\\ 2\sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{1}{4}\\ \sin{\theta }\cos{\theta }&=&-\frac{1}{8}\end{eqnarray*}$

となります。

(2)の問題

先ほど求めた $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の値を使います。

$\sin{\theta }-\cos{\theta }$ のままでは値が求められませんので、この値の2乗を求めます。

最後に平方根をとりますので符号を気にしないといけませんが、 $\sin{\theta }\cos{\theta }$ の符号と $\theta$ の取りうる値の範囲から $\sin{\theta }\gt 0,\ \cos{\theta }\lt 0$ であることがわかります。

したがって、 $\sin{\theta }-\cos{\theta }\gt 0$ となります。よって

$\begin{eqnarray*} (\sin{\theta }-\cos{\theta })^{2}&=&\sin^{2}{\theta }-2\sin{\theta }\cos{\theta }+\cos^{2}{\theta }\\ &=&1+\frac{1}{4}\\ &=&\frac{5}{4}\end{eqnarray*}$

ゆえに $\displaystyle \sin{\theta }-\cos{\theta }=\frac{\sqrt{5}}{2}$ となります。

(3)の問題

三角比の相互関係 $\displaystyle \tan{\theta }=\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}$ を使って、 $\sin{\theta }$ と $\cos{\theta }$ だけの式に持ち込みます。

$\begin{eqnarray*} \tan{\theta }+\frac{1}{\tan{\theta }}&=&\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}+\frac{\cos{\theta }}{\sin{\theta }}\\ &=&\frac{\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }}{\sin{\theta }\cos{\theta }}\\ &=&\frac{1}{-\frac{1}{8}}\\ &=&-8\end{eqnarray*}$

となります。

答え

1…④　2…⑧　3…①

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

必要条件・十分条件の問題です。

この問題の解き方は次の2通りです。

(A)命題を立てて真偽を確認する。

(B)集合を考えて包含関係を見る。

(A)の解き方で行く場合は問題が「 $p$ であることは $q$ であるための（　）」となっているとき

・ $p$ ならば $q$

・ $q$ ならば $p$

の2つの命題を立てます。

この2つの命題の真偽を調べるのですが、その結果が

・両方の命題が真 $\rightarrow$ 「必要十分条件」と答える。

・上の命題のみ真 $\rightarrow$ 「十分条件であるが必要条件ではない」と答える。

・下の命題のみ真 $\rightarrow$ 「必要条件であるが十分条件ではない」と答える。

・両方の命題が偽 $\rightarrow$ 「必要条件でも十分条件でもない」と答える。

という流れになります。

(B)の解き方で行く場合は問題が「 $p$ であることは $q$ であるための（　）」となっているとき、条件 $p$ を満たす全体の集合を $P$ 、条件 $q$ を満たす全体の集合を $Q$ としたとき、2つの集合 $P,\ Q$ の包含関係を調べます。その結果が

・ $P=Q\rightarrow$ 「必要十分条件」と答える。

・ $P\subset Q\rightarrow$ 「十分条件であるが必要条件ではない」と答える。

・ $Q\subset P\rightarrow$ 「必要条件であるが十分条件ではない」と答える。

・ $P$ と $Q$ に包含関係が成立しない $\rightarrow$ 「必要条件でも十分条件でもない」と答える。

という流れになります。