マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2021年常葉大学一般入試後期日程】

入試問題必要条件・十分条件

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$a,\ b$ は実数とする。

(1) $a\lt b$ であることは $a^{2}\lt b^{2}$ であるための（　）

(2) $ab\gt 0$ であることは「 $a\gt 0$ かつ $b\gt 0$ 」または「 $a\lt 0$ かつ $b\lt 0$ 」であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2021年常葉大学一般入試後期日程で出題された問題です。

2問ともこのブログで取り上げた問題ですが、改めて解説をしていきます。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $a\lt b\Longrightarrow a^{2}\lt b^{2}$ の真偽を調べます。

$a=-2,\ b=-1$ とすると、 $a\lt b$ を満たしています。

ところが、 $a^{2}=4,\ b^{2}=1$ ですので、結論の $a^{2}\lt b^{2}$ を満たしていません。

よって、この命題は偽になります。

命題 $a^{2}\lt b^{2}\Longrightarrow a\lt b$ の真偽を調べます。

$a=1,\ b=-2$ とすると、 $a^{2}=1,\ b^{2}=4$ ですので $a^{2}\lt b^{2}$ を満たしています。

ところが、 $a\gt b$ となっていますので、結論の $a\lt b$ を満たしていません。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 $a\lt b$ は $a^{2}\lt b^{2}$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

(2)の問題について

「 $a\gt 0$ かつ $b\gt 0$ 」または「 $a\lt 0$ かつ $b\lt 0$ 」であることと $a$ と $b$ が同符号であることは同じことを言っていますので、代わりに

・ $ab\gt 0\Longrightarrow a,\ b$ が同符号

・ $a,\ b$ が同符号 $\Longrightarrow ab\gt 0$

の2つの命題の真偽を調べることになります。

これら2つの命題はともに真ですので、 $ab\gt 0$ であることは「 $a\gt 0$ かつ $b\gt 0$ 」または「 $a\lt 0$ かつ $b\lt 0$ 」であるための「必要十分条件」となります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は2問とも頻出問題です。

答えを覚えていても損はないと思いますが、数学は「なぜそうなるのか」という部分が最も大事な部分ですので、そこが説明できるようになっておくことが大切です。

少なくとも(1)の問題で作った命題の反例は挙げれるようにはしておいた方が良いですね。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています！フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper