八戸工業大学の過去問【2022年一般入試】

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今回の問題

八戸工業大学の2022年一般入試の問題です。

この問題もマーク方式にして紹介しました。1年前ですか。あっという間です。このあたりはMarkdownを導入しているのでちゃんと数式を使って解説していますね。解説を省略してもいいくらいですが、改めて解説をしていこうと思います。

以前の記事はこちらです。↓

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

第1問と第3問は昨年と同じくらいの難易度かと思いますが、第2問が昨年より難化しているように思えます。三角関数を上手く使いこなせないと解くのが難しいかもしれません。計算量は昨年と同じくらいですので解きやすいかと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

問1

不等式 $x(12x+17)\lt 40$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x(12x+17)&\lt &40\\ 12x^{2}+17x-40&\lt &0\\ (3x+8)(4x-5)&\lt &0\end{eqnarray*}$

したがって、不等式の解は $\displaystyle -\frac{8}{3}\lt x\lt \frac{5}{4}$ となります。

問2

放物線 $y=2x^{2}+5kx+1$ と直線 $y=-7kx-1$ との交点の個数は、 $x$ の2次方程式

$2x^{2}+5kx+1=-7kx-1$

の実数解の個数になります。この方程式を整理すると

$x^{2}+6kx+1=0$

となります。この方程式の判別式を $D$ とすると

$D/4=9k^{2}-1$

となります。放物線と直線が接するとき、 $D=0$ が条件ですので、このような $k$ の値は $\displaystyle k=\pm \frac{1}{3}$ となります。問題文で $k\gt 0$ が要請されているので $\displaystyle k=\frac{1}{3}$ が答となります。

問3

2次関数の式を変形（平方完成）すると

$\displaystyle y=\left( x+\frac{9}{2}\right) ^{2}-\frac{81}{4}+a$

となります。この関数の最小値が $\displaystyle \frac{1}{2}$ ですので

$\displaystyle -\frac{81}{4}+a=\frac{1}{2}$

が成り立ちます。この方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{83}{4}$ となります。

問4

求める2次関数を $y=ax^{2}+bx+c$ とおきます。点 $A(2,-11),\ B(-3,-26),\ C(-1,-8)$ を通りますので、連立方程式

$\left\{ \begin{array}{ccc} 4a+2b+c&=&-11\\ 9a-3b+c&=&-26\\ a-b+c&=&-8\end{array}\right.$

が成り立ちます。この連立方程式の解は $(a,b,c)=(-2,1,-5)$ ですので、求める2次関数の式は $y=-2x^{2}+x-5$ となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

問1

三角比の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ より

$\begin{eqnarray*} \cos^{2}{\theta }&=&1-\sin^{2}{\theta }\\ &=&1-\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}\\ &=&1-\frac{1}{100}\\ &=&\frac{99}{100}\end{eqnarray*}$

となりますので、三角比の相互関係 $\displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}$ より

$\begin{eqnarray*} 1+\tan^{2}{\theta }&=&\frac{100}{99}\\ \tan^{2}{\theta }&=&\frac{100}{99}-1\\ &=&\frac{1}{99}\end{eqnarray*}$

したがって、 $\displaystyle \frac{1}{\tan^{2}{\theta }}=99$ となります。

問2

$\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} BC^{2}&=&CA^{2}+AB^{2}-2CA\cdot AB\cdot \cos{A}\\ 9\sin^{2}{A}&=&1^{2}+3^{2}-2\cdot 1\cdot 3\cdot \cos{A}\\ 9(1-\cos^{2}{A})&=&1+9-6\cos{A}\\ 9-9\cos^{2}{A}&=&10-6\cos{A}\\ 9\cos^{2}{A}-6\cos{A}+1&=&0\\ (3\cos{A}-1)^{2}&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle \cos{A}=\frac{1}{3}$ となります。

問3

$\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*} \frac{AC}{\sin{B}}&=&\frac{BC}{\sin{A}}\\ \frac{\frac{1}{4}}{\sin{B}}&=&\frac{2\sin{B}}{\frac{1}{2}}\\ 2\sin^{2}{B}&=&\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\\ \sin^{2}{B}&=&\frac{1}{16}\end{eqnarray*}$

$0^{\circ }\lt B\lt 180^{\circ }$ ですので $\sin{B}\gt 0$ です。したがって、 $\displaystyle \sin{B}=\frac{1}{4}$ となります。

問4

$A+B+C=180^{\circ }$ より $\sin{(B+C)}=\sin{(180^{\circ }-A)}=\sin{A}$ が成り立ちます。また、三角形の面積に関して

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin{A}$

であるので、この等式に与えられた数値を代入して $AC$ の値を求めると

$\begin{eqnarray*} 5\sin{(B+C)}&=&\frac{1}{2}\times 7\times AC\times \sin{A}\\ 5\sin{A}&=&\frac{7}{2}\times AC\sin{A}\\ \frac{7}{2}AC&=&5\\ AC&=&\frac{10}{7}\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

対称式に関する問題です。

対称式の値は基本対称式 $a+b$ と $ab$ の値がわかれば求めることができます。

今回の問題の場合は $a+b$ の値が与えられていますので、 $a^{3}+b^{3}$ の値から $ab$ の値を求めます。

$a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$ と $\displaystyle a^{3}+b^{3}=\frac{7\sqrt{5}}{2},\ a+b=\sqrt{5}$ より

$\begin{eqnarray*} \frac{7\sqrt{5}}{2}&=&5\sqrt{5}-3\sqrt{5}ab\\ 3\sqrt{5}ab&=&5\sqrt{5}-\frac{7\sqrt{5}}{2}\\ &=&\frac{3\sqrt{5}}{2}\\ ab&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

となります。したがって

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}&=&\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\\ &=&\frac{(a+b)^{2}-2ab}{(ab)^{2}}\\ &=&\frac{5-1}{\frac{1}{4}}\\ &=&16\end{eqnarray*}$

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

第2問は変わった問題でした。

辺の長さに三角比の値が含まれているので、上手く正弦定理・余弦定理を使わないと計算に手間取ってしまいます。

第3問の計算量がだいぶ減ったように思います。

今回の問題は対称式の扱い方がわかっていればすぐに解けるような問題でした。

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