マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

八戸工業大学の問題【2022年一般入試第2問】

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は八戸工業大学と倉敷芸術科学大学の2022年の問題です。

今回は八戸工業大学一般入試第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

図形と計量の単元の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)三角比の相互関係を用いると $\displaystyle cos^{2}{\theta }=\frac{99}{100}$ となります。

$\displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}$ より

$\displaystyle \tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}-1$

$\displaystyle =\frac{100}{99}-1=\frac{1}{99}$

よって $\displaystyle \frac{1}{\tan^{2}{\theta }}=99$ となります。

(2) $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると $\sin^{2}{\theta }=1-\cos^{2}{\theta }$ なので

$\displaystyle cos{A}=\frac{1+9-9(1-\cos^{2}{A})}{6}$

となります。これを整理すると

$9\cos^{2}{A}-6\cos{A}+1=0$

$(3\cos{A}-1)^{2}=0$

したがって、 $\displaystyle \cos{A}=\frac{1}{3}$ となります。

(3) $\triangle ABC$ に正弦定理を用いると

$\displaystyle \frac{2\sin{B}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{4}}{\sin{B}}$

この式から $\displaystyle \sin^{2}{B}=\frac{1}{16}$ となりますが、 $0^{\circ }\lt B\lt 180^{\circ }$ であることから $\displaystyle \sin{B}=\frac{1}{4}$ となります。

(4)三角形の面積の公式から

$\displaystyle \frac{7}{2}AC\sin{A}=5\sin{A}$

が成り立ちます。 $A\not= 0^{\circ }$ ですので $\sin{A}\not= 0$ です。

したがって、 $\displaystyle AC=\frac{10}{7}$ となります。

いかがだったでしょうか？

解く方針に立て方は基礎問題と同じですが、そのまま定理や公式に当てはめて計算ができるかどうかがポイントになりそうです。

正弦定理、余弦定理、三角形の面積の公式をしっかり理解できていれば解ける問題です。

辺の長さの情報がどんな数値であっても普段通りにやっていけば正解に辿り着けそうです。

　

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