マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

八戸工業大学の問題【2022年一般入試第1問】

2次関数入試問題

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今週は八戸工業大学と倉敷芸術科学大学の2022年の問題です。

先週までは首都大学東京の問題でしたが、解く用のノートが中途半端に余ってしまいました。( 一一)

なので、あまりノートを使わなさそうな問題が出ている大学を選びました。（基本的に1問で1ページ使っていますが、八戸工業大学は同じくらいでした）

今回は八戸工業大学2022年一般入試第1問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2次関数の単元の問題4問です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1) $x(12x+17)\lt 40$ を整理すると

$12x^{2}17x-40\lt 0$

となります。この不等式の左辺を因数分解すると $(4x-5)(3x+8)$ となりますので、不等式の解は $\displaystyle -\frac{8}{3}\lt x\lt \frac{5}{4}$ となります。

(2)2次関数 $y=2x^{2}+5kx+1$ と直線 $y=-7kx-1$ の交点の $x$ 座標は、 $x$ の方程式

$2x^{2}+5kx+1=-7kx-1$

の解で与えられます。

この2次関数と直線が接するとき、この2次方程式は重解を持ちますので判別式を $D$ とすると $D=0$ が条件です。

$D/4=9k^{2}-1$

ですので、この方程式を解くと $\displaystyle k=\pm \frac{1}{3}$ となりますが、問題の $k\gt 0$ という条件から $\displaystyle k=\frac{1}{3}$ となります。

(3)2次関数 $y=x^{2}+9x+a$ の最小値を求めるために平方完成を行うと

$\displaystyle y=\left( x+\frac{9}{2}\right) ^{2}-\frac{81}{4}+a$

となります。最小値が $\displaystyle \frac{1}{2}$ ですので、 $\displaystyle -\frac{81}{4}+a=\frac{1}{2}$ が条件となります。

この方程式を解くと $\displaystyle a=\frac{83}{4}$ となります。

(4)グラフが3点 $(2,-11),\ (-3,-26),\ (-1,-8)$ を通る2次関数を $y=ax^{2}+bx+c$ とおくと、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} 4a+2b+c&=&-11\\ 9a-3b+c&=&-26\\ a-b+c&=&-8\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=-2,\ b=1,\ c=-5$ となりますので、求める2次関数は

$y=-2x^{2}+x-5$

ということになります。

いかがだったでしょうか？

4問とも基礎的な問題でした。

解く方針を立てることは簡単ですが、計算ミスをしやすい問題かと思いますのでそこに注意しておきたいです。

計算練習するためには非常に良い問題ではないでしょうか。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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