マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

倉敷芸術科学大学の過去問【2005年一般入試A日程選択問題】

入試問題の解説

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

目次

・今回の問題
・問題の難易度について
・第1問
・第2問
・第3問
・第4問
・第5問
・第6問
・いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

今回の問題

今回は倉敷芸術科学大学2005年一般入試の選択問題です。

出題範囲は2005年当時の数学Ⅱ・Bの範囲です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

複素数平面の問題も含まれていますが、難易度としては教科書くらいです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

$x=1$ で極大値 $5$ をとり、 $x=3$ で極小値 $1$ をとる $3$ 次関数を求めよ。

第1問の解説

求める $3$ 次関数を $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ とおきます。

この関数の導関数は $f^{\prime }(x)=3ax^{2}+2bx+c$ となります。

$x=1$ で極大値 $5$ をとりますので $f(1)=5,\ f^{\prime }(1)=0$ が成り立ちます。

また、 $x=3$ で極小値 $1$ をとりますので $f(3)=1,\ f^{\prime }(1)=0$ が成り立ちます。

したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b+c+d&=&5\\ 3a+2b+c&=&0\\ 27a+9b+3c+d&=&1\\ 27a+6b+c&=&0\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $a=1,\ b=-6,\ c=9,\ d=1$ となりますので、求める $3$ 次関数は

$f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1$

となります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

円 $x^{2}+y^{2}=3$ と直線 $y=-x+1$ に対して、次の問いに答えよ。

(1)原点とこの直線との距離を求めよ。

(2)この円と直線 $y=-x+k$ が $2$ 点で交わるとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

第2問の解説

(1)直線 $x+y-1=0$ と原点との距離を求めることになります。

その距離を $d$ とすると

$\begin{eqnarray*} d&=&\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\\ &=&\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{eqnarray*}$

となります。

(2)円の方程式 $x^{2}+y^{2}=3$ に直線の方程式 $y=-x+k$ を代入して整理すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}+(-x+k)^{2}&=&3\\ x^{2}+x^{2}-2kx+k^{2}-3&=&0\\ 2x^{2}-2kx+k^{2}-3&=&0\end{eqnarray*}$

となります。この $x$ についての $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D/4&=&k^{2}-2(k^{2}-3)\\ &=&k^{2}-2k^{2}+6\\ &=&-k^{2}+6\end{eqnarray*}$

円 $x^{2}+y^{2}=3$ と直線 $y=-x+k$ が $2$ 点で交わる条件は $D\gt 0$ なので、不等式

$-k^{2}+6\gt 0$

を解くと $-\sqrt{6}\lt k\lt \sqrt{6}$ となります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

不等式 $\log_{2}{x}+\log_{2}{(x+3)}\leqq 2$ を解け。

第3問の解説

対数関数を含む方程式や不等式を解く際は真数条件に注意してください。

今回の真数条件は $x\gt 0$ かつ $x+3\gt 0$ です。

したがって、真数条件は $x\gt 0$ となります。

不等式を変形すると

$\log_{2}{x(x+3)}\leqq 2$

となります。対数関数の底は $2$ で $1$ より大きいので

$x(x+3)\leqq 4$

となります。この不等式を解くと

$\begin{eqnarray*} x(x+3)-4&\leqq 4\\ x^{2}+3x-4&\leqq 0\\ (x+4)(x-1)&\leqq &0\end{eqnarray*}$

したがって、この不等式の解は $-4\leqq x\leqq 1$ となります。

これと真数条件との共通部分がもとの不等式の解となりますので、求める解は $0\lt x\leqq 1$ となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

関数 $y=2\sin{(2\theta +90^{\circ })}\ \ (-90^{\circ }\leqq \theta \leqq 90^{\circ })$ のグラフを描け。

第4問の解説

グラフは以下のようになります。

グラフを描くときは取れる点をできるだけ多く取って、それを滑らかな曲線でつなぐと良いです。

この問題はグラフを描くことが目的なので、通る点はしっかり明記しておかないと減点対象となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

赤のカード $1$ 枚、青のカード $1$ 枚、緑のカード $8$ 枚の合わせて $10$ 枚のカードがある。この $10$ 枚のカードの中から $5$ 枚を選んだとき、次の問いに答えよ。

(1)赤、青どちらのカードも含まれる選び方は何通りあるか。

(2)赤か青のどちらかのカードが含まれる選び方は何通りあるか。

第5問の解説

(1)赤のカード $1$ 枚、青のカード $1$ 枚、緑のカード $3$ 枚を選ぶことになるので

$1\times 1\times _{8}C_{3}=56$ 通り

となります。

(2)カードの選び方は全部で $_{10}C_{5}=252$ 通りあり、そのうち $5$ 枚とも緑のカードである選び方は $_{8}C_{5}=56$ 通りあります。

したがって、赤のカード、青のカードどちらかが含まれる選び方は

$252-56=196$ 通り

となります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

方程式 $z^{4}=8(-1+\sqrt{3}i)$ を解け。ただし、 $i^{2}=-1$

第6問の解説

ド・モアブルの定理を用いて解きます。

$z=r(\cos{\theta }+i\sin{\theta })$ とおくと

$z^{4}=r^{4}(\cos{4\theta }+i\sin{4\theta })$ …①

となります。

$\theta$ のとりうる値の範囲から $0\leqq \4\theta \lt 8\pi$ であることに注意します。

方程式を変形すると $\displaystyle z^{4}=16(\cos{\frac{2}{3}\pi }+i\sin{\frac{2}{3}\pi })$ となりますので、①と比較すると

$\displaystyle 4\theta =\frac{2}{3}\pi +2k\pi \ \ (k=0,\ 1,\ 2,\ 3)$ かつ $r^{4}=16$

が得られますので

$\displaystyle \theta =\frac{\pi }{6}+\frac{k}{2}\pi$

となります。 $k=0,\ 1,\ 2,\ 3$ それぞれを代入して $z$ を求めると

$z=\sqrt{3}+i,\ -1+\sqrt{3}i,\ -\sqrt{3}-i,\ 1-\sqrt{3}i$

となります。

いかがだったでしょうか？〜解いてみた感想〜

基礎的な問題ばかりでした。

グラフを描く問題が出るのはかなり易しいと思います。

難しい問題ではグラフを描かないとわからない場合が多いので、グラフを描く癖をつけておくと良いです。

大学入試を受けるのであればこのくらいの問題は解けるようにしておきたいですね。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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