愛知工科大学の過去問【2022年工学部一般入試】

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今回の問題

愛知工科大学2022年一般入試の問題です。

マーク式の問題は基本事項を理解していれば解くことができます。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

記述式だと国公立2次試験で出ても良いくらいの問題です。第2問からマーク式で誘導がついているのでそこまで難しい問題ではないです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

対数関数に関する公式を用いて $x$ の方程式を変形すると

$\left\{ \log_{2}{(x^{2}+1)}\right\} ^{2}-4\log_{2}{(x^{2}+1)}-k=0$

となります。ここで $\log_{2}{(x^{2}+1)}=t$ とおくと、この方程式は

$t^{2}-4t=k$

と考えることができます。

方程式の実数解の個数は曲線 $y=x^{2}-4x$ と直線 $y=k$ の交点の個数で判断します。

$t=\log_{2}{(x^{2}+1)}$ と置いたので、 $t$ の取りうる値の範囲は、 $x^{2}+1\geqq 1$ と対数関数の性質より $t\geqq 0$ です。

ですので、実数解の個数の判断の仕方は曲線 $y=x^{2}-4x$ の $x\geqq 0$ の部分と直線 $y=k$ の交点の個数を数えることです。

注意すべきことは $\log_{2}{(x^{2}+1)}=0$ の解は $x=0$ 、 $a\gt 0$ に対して $\log_{2}{(x^{2}+1)}=a$ の実数解は2個あることです。

曲線 $y=x^{2}-4x$ の $x\geqq 0$ の部分は以下の図のようになります。

この図から、元の方程式の実数解の個数は

$k\lt -4$ のとき $0$ 個

$k=-4,\ k\gt 0$ のとき $2$ 個

$k=0$ のとき $3$ 個

$-4\lt k \lt 0$ のとき $4$ 個

が答えになります。

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

関数 $\displaystyle f(\theta )=\frac{\sin{\theta }-7}{\cos{\theta }-4}$ の最大値と最小値を求める問題ですが、ここは問題の誘導のとおりに求めてみます。

問題文では $t=f(\theta ),\ x=\cos{\theta }-4,\ y=\sin{\theta }-7$ と置いています。

この置き方から、元の関数は $\displaystyle t=\frac{y}{x}$ となりますので $y=tx$ …①となります。

また、三角関数の相互関係 $\sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1$ が成り立ちます。

$x$ と $y$ の置き方から $\cos{\theta }=x+4,\ \sin{\theta }=y+7$ です。これらを三角関数の相互関係の式に代入して

$(x+4)^{2}+(y+7)^{2}=1$ …②

①を②に代入して $y$ を消去していくと

$\begin{eqnarray*} (x+4)^{2}+(tx+7)^{2}&=&1\\ x^{2}+8x+16+t^{2}x^{2}+14tx+49-1&=&0\\ (t^{2}+1)x^{2}+2(7t+4)x+64&=&0\end{eqnarray*}$

となります。 $x$ は実数ですので、出てきた $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると

$\begin{eqnarray*} D/4&=&(7t+4)^{2}-64(t^{2}+1)\\ &=&-15t^{2}+56t-48\\ &=&-(3t-4)(5t-12)\end{eqnarray*}$

となりますが、 $D\geqq 0$ が条件ですので、この不等式を解くと $\displaystyle \frac{4}{3}\leqq t\leqq \frac{12}{5}$ となります。

したがって、 $f(\theta )$ の最小値は $\displaystyle \frac{4}{3}$ 、最大値は $\displaystyle \frac{12}{5}$ であることがわかります。

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

この問題も問題分に書いている誘導に従って解いていきます。ニュートン法に関する問題ですが、知らなくても解くことができます。

2次関数 $f(x)=x^{2}-8x+15$ を考えていきますが、出てくる情報が

・ $f(a)\gt 0$ を満たす $a$

・ $\displaystyle x_{1}=a,\ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f^{\prime }(x_{n})}\ (n\geqq 1)$

ですので、次のことが要請されます。

(1)不等式 $f(a)\gt 0$ を解くこと

(2) $f(x)$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めること

(1)については不等式

$a^{2}-8a+15\gt 0$

を解くことになります。この不等式を解くと

$\begin{eqnarray*}a^{2}-8a+15&\gt &0\\ (a-3)(a-5)&\gt &0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $a\lt 3,\ 5\lt a$ が不等式の解となります。

(2)についてですが、 $f(x)$ の導関数は $f^{\prime }(x)=2x-8$ となります。

したがって、漸化式は

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}&=&x_{n}-\frac{x^{2}_{n}-8x_{n}+15}{2x_{n}-8}\\ &=&\frac{2x^{2}_{n}-8x_{n}-x^{2}_{n}+8x_{n}-15}{2x_{n}-8}\\ &=&\frac{1}{2}\left( x_{n}+4+\frac{1}{x_{n}-4}\right) \end{eqnarray*}$

と変形できます。これを使うと

$\displaystyle x_{n+1}-3=\frac{1}{2}\frac{(x_{n}-3)^{2}}{x_{n}-4}$

$\displaystyle x_{n+1}-5=\frac{1}{2}\frac{(x_{n}-5)^{2}}{x_{n}-4}$

となりますので

$\displaystyle \frac{x_{n+1}-3}{x_{n+1}-5}=\left( \frac{x_{n}-3}{x_{n}-5}\right) ^{2}$

したがって、 $x_{1}=a$ より $\displaystyle \frac{x_{n}-3}{x_{n}-5}=\left( \frac{a-3}{a-5}\right) ^{2^{n-1}}$ であることがわかります。

この式を変形して $x_{n}$ を求めると

$\displaystyle x_{n}=\frac{3-5\left( \frac{a-3}{a-5}\right) ^{2^{n-1}}}{1-\left( \frac{a-3}{a-5}\right) ^{2^{n-1}}}=\frac{5-3\left( \frac{a-5}{a-3}\right) ^{2^{n-1}}}{1-\left( \frac{a-5}{a-3}\right) ^{2^{n-1}}}$

となります。

$a\lt 3$ のとき $\displaystyle 0\lt \frac{a-3}{a-5}\lt 1$ なので $\displaystyle \lim_{n\to \infty }x_{n}=3$

$5\lt a$ のとき $\displaystyle 0\lt \frac{a-5}{a-3}\lt 1$ なので $\displaystyle \lim_{n\to \infty }x_{n}=5$ となります。

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

(1)点 $P$ は線分 $BQ$ の垂直二等分線上にありますので、 $\triangle QAB$ は必ず $PQ=PB$ の二等辺三角形になります。

このことから $|PA-PB|=|PA-PQ|=QA$ となります。

また、点 $Q$ は円 $(x+5)^{2}+y^{2}=36$ 上にある点ですが、中心が $A(-5,0)$ ですので $QA=6$ であることがわかります。

以上から $|PA-PB|=6$ となります。

$P(x,y)$ とおくと

$PA=\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}$

$PB=\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}$

となります。これらを $|PA-PB|=6$ の式に代入して整理すると

$\displaystyle \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$

となります。

一般に双曲線 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a\gt 0,\ b\gt 0)$ の漸近線は

$\displaystyle \frac{x}{a}\pm \frac{y}{b}=0$

ですので、これを今回の問題に当てはめると、求める漸近線は $\displaystyle y=\pm \frac{4}{3}x$ となります。

(2)曲線 $y=\sin{x}$ と曲線 $\displaystyle y=\cos{\frac{x}{2}}$ の交点の $x$ 座標は

$\begin{eqnarray*} \sin{x}-\cos{\frac{x}{2}}&=&0\\ \sin{2\cdot \frac{x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}}&=&0\\ 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}-\cos{\frac{x}{2}}&=&0\\ \cos{\frac{x}{2}}(2\sin{\frac{x}{2}}-1)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、 $\displaystyle \cos{\frac{x}{2}}=0$ または $\displaystyle \sin{\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}$ を満たす $x$ です。

$0\leqq x\leqq \pi$ の範囲で求めると $\displaystyle x=\frac{\pi }{3},\ \pi$ となります。

曲線 $y=\sin{x}$ と曲線 $\displaystyle y=\cos{\frac{x}{2}}$ で囲まれた図形の面積は

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\left( \sin{x}-\cos{\frac{x}{2}}\right) dx &=&\left[ -\cos{x}\right] _{\frac{\pi }{3}}^{\pi }-\left[ 2\sin{\frac{x}{2}}\right] _{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

この図形を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積は

$\begin{eqnarray*}\pi \int_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\sin^{2}{x}dx-\pi \int_{\frac{\pi }{3}}^{\pi }\cos^{2}{\frac{x}{2}}dx&=&\frac{3\sqrt{3}}{8}\pi\end{eqnarray*}$

となります。

問題と問題の解説（第5問）

第5問

第5問の解説

問題文より、ウィルス $V$ に感染している確率 $P(K)$ は $\displaystyle P(K)=\frac{a}{100}$ ですので

$\displaystyle P(\bar{K})=1-\frac{a}{100}$

となります。また、ウィルス $V$ に感染した人を検査法 $T$ により陽性と判定する確率が $70$ %、ウィルス $V$ に感染していない人を検査法 $T$ により陰性と判断する確率が $90$ %であることより

$\displaystyle P_{K}(Y)=\frac{7}{10},\ P_{\bar{K}}(Y)=\frac{1}{10}$

であることがわかります。条件付き確率の定義によると

$\displaystyle P_{K}(Y)=\frac{P(K\cap Y)}{P(K)}$

となります。この式を用いると

$\begin{eqnarray*} P(K\cap Y)&=&P_{K}(Y)\times P(K)\\ &=&\frac{7}{10}\times \frac{a}{100}\\ &=&\frac{7a}{1000}\end{eqnarray*}$

となります。同じように求めると $\displaystyle P(\bar{K}\cap Y)=\frac{1}{10}-\frac{a}{1000}$ となります。

したがって、検査法 $T$ によって陽性と判定される確率 $P(Y)$ は

$\begin{eqnarray*} P(Y)&=&P(K\cap Y)+P(\bar{K}\cap Y)\\ &=&\frac{7a}{1000}+\frac{1}{10}-\frac{a}{1000}\\ &=&\frac{3a+50}{500}\end{eqnarray*}$

となります。これにより

$\begin{eqnarray*} P_{Y}(K)&=&\frac{P(K\cap Y)}{P(Y)}\\ &=&\frac{\frac{7a}{1000}}{\frac{6a+100}{1000}}\\ &=&\frac{7a}{6a+100}\end{eqnarray*}$

となります。

$C$ 市の住民のうち、ウィルス $V$ に感染している割合が $5$ %未満であるとき、 $a\lt 5$ より

$\displaystyle P_{Y}(K)\lt \frac{7\times 5}{6\times 5+100}=\frac{7}{26}$

となります。

また、 $A$ さんが陽性と判定されたとき、ウィルス $V$ に感染していない確率が $25$ ％以下のとき $\displaystyle P_{Y}(\bar{K})\leqq \frac{25}{100}$ より

$\displaystyle 1-\frac{7a}{6a+100}\leqq \frac{25}{100}$

を満たします。この不等式を解くと $a\geqq 30$ となりますので、 $C$ 市の住民のうち $30$ %以上の人が、ウィルス $V$ に感染していることがわかります。

問題と問題の解説（第6問）

第6問

第6問の解説

放物線 $C_{1}:y=x^{2}$ 上の点 $\displaystyle A\left( \frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ における接線の方程式は

$\displaystyle y=x-\frac{1}{4}$

ですので、この直線の傾きは $1$ 、切片は $\displaystyle -\frac{1}{4}$ です。

点 $A$ を通り、この直線と垂直に交わる直線の方程式は

$\displaystyle y=-x+\frac{3}{4}$ …①

となります。この直線の傾きは $-1$ 、切片は $\displaystyle \frac{3}{4}$ です。

円の性質として次のようなものがあります。

・円に接する接線と中心と接点を結んだ直線は垂直に交わる。

この性質によると、点 $A$ と点 $B\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ で放物線 $C_{1}$ と接する円 $C_{2}$ の中心は、点 $A$ を通る放物線 $C_{1}$ の法線と点 $B$ を通る放物線 $C_{1}$ の法線の交点ということになります。

点 $B$ を通る放物線 $C_{1}$ の求め方は、先ほど求めた直線①と全く同じようにすると求められます。そうすると次の直線の方程式が得られます。

$\displaystyle y=x+\frac{3}{4}$ …②

直線①と直線②の交点を求めると $\displaystyle \left( 0,\frac{3}{4}\right)$ となります。これが求める円の中心になります。

あとは円の半径を求めるだけですが、これは円の中心と点 $A$ の2点間の距離に等しいです。円の半径を $r$ とすると

$\begin{eqnarray*} r^{2}&=&\left( \frac{1}{2}-0\right) ^{2}+\left( \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\right) ^{2}\\ &=&\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

$r\geqq 0$ より $\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

最後に放物線 $C_{1}$ 円 $C_{2}$ で囲まれる部分の図形の面積を求めます。

この図形は $y$ 軸に関して対称ですので、下の図の青い部分の面積を求めれば充分です。

青い部分の面積を求めるには、放物線と直線で囲まれる部分の面積から赤くなっている部分の面積を引くと求められます。

放物線と直線で囲まれる部分の面積は

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( -x^{2}-x+\frac{3}{4}\right) dx&=&\left[ -\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{4}x\right] _{0}^{\frac{1}{2}}\\ &=&-\frac{1}{24}-\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\\ &=&\frac{5}{24}\end{eqnarray*}$