必要条件・十分条件の問題【中村学園大学2021年一般入試】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

実数 $x,\ y$ に関する条件 $p,\ q$ を次のように定める。

$p:(x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}$

$q: (x+y)^{2}\gt 2xy$

このとき、 $p$ と同値な条件は（ア）である。

また、 $p$ の否定を $\bar{p}$ と表すとき、 $\bar{p}$ は $q$ であるための（イ）

（ア）には適切な数式を、（イ）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちから1つ選び、解答せよ。

中村学園大学2021年の一般入試で出題された問題です。

（ア）のところも選択式ですが、今回は選択肢を省略しています。

条件 $p$ は次のように変形ができます。

$\begin{eqnarray*} (x-y)^{2}&=&x^{2}+y^{2}\\ x^{2}-2xy+y^{2}&=&x^{2}+y^{2}\\ -2xy&=&0\\ xy&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、条件 $p$ と同値な条件は $xy=0$ です。これが（ア）の答えです。

この条件を否定すると $xy\not= 0$ となります。

よって、（イ）を解答するためには、2つの命題

(1) $xy\not= 0\Longrightarrow (x+y)^{2}\gt 2xy$

(2) $(x+y)^{2}\gt 2xy\Longrightarrow xy\not= 0$

の真偽を調べます。

条件 $q$ と同値な条件は

$\begin{eqnarray*} (x+y)^{2}&\gt &2xy\\ x^{2}+2xy+y^{2}&\gt &2xy\\ x^{2}+y^{2}&\gt &0\end{eqnarray*}$

と変形ができますので $x^{2}+y^{2}\gt 0$ です。

ですので、(1)の命題は $xy\not= 0$ から $x\not= 0$ かつ $y\not= 0$ が仮定です。

このとき、 $x^{2}+y^{2}\gt 0$ を満たしますので、命題(1)は真の命題です。

(2)の命題については、 $x=1,\ y=0$ とすると $x^{2}+y^{2}\gt 0$ を満たしていますが、 $xy=0$ ですので、これが反例となっています。

したがって、(2)の命題は偽の命題となります。

以上から、（イ）に入るのは「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

前半では同値な条件を探すことになっていますが、これが後半につながるヒントになっています。

同値な条件がわかると解答するのが楽になる場合があるようです。

特に等式や不等式の問題は今回のように、簡単な同値な条件に直してから考えると良いかもしれません。

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