必要条件・十分条件の問題【2016年東京都教員採用試験】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

$x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1$ であることは $x\not= 2$ または $y\not= 1$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。

2016年東京都教員採用試験で出題された問題です。

条件を否定して対偶を取れるかどうかがポイントです。

次の2つの命題の真偽を調べます。

(1) $x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1\Longrightarrow x\not= 2$ または $y\not= 1$

(2) $x\not= 2$ または $y\not= 1\Longrightarrow x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1$

命題に「または」の言葉が入っている場合は対偶を取ると上手くいく場合があります。

ということで、それぞれの対偶を考えてみます。

(3) $x=2$ かつ $y=1\Longrightarrow x+y=3$ かつ $x-y=1$

(4) $x+y=3$ かつ $x-y=1\Longrightarrow x=2$ かつ $y=1$

(3)の命題は(1)の命題の対偶、(4)の命題は(2)の命題の対偶です。

対偶の命題の真偽は必ず元の命題の真偽と一致します。

今回の問題はこのことを使って必要条件・十分条件を判定していきます。

(3)の命題について、 $x=2$ かつ $y=1$ のとき

$x+y=3,\ x-y=1$

を満たしているので、この命題は真です。

したがって、(1)の命題も真です。

(4)の命題については、次の連立方程式を満たしていることが仮定になります。

$\left\{ \begin{array}{ccc} x+y&=&3\\ x-y&=&1\end{array}\right.$

この連立方程式を解くと $x=2,\ y=1$ となりますので、この命題は真となります。

したがって、(2)の命題も真となります。

以上から、 $x+y\not= 3$ または $x-y\not= 1$ であることは $x\not=2$ または $y\not= 1$ であるための「必要十分条件」となります。

今回の問題は対偶をとって必要条件・十分条件の判定を行いました。

このままでは証明がしづらいと思ったら、命題の対偶を取ると上手くいく場合があります。

一度考えてみて「いけそう」と思ったら対偶を取ってみると良いかと思います。

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