必要条件・十分条件の問題【2023年都立看護専門学校】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

条件 $p,\ q$ について、 $p$ が $q$ であるための十分条件であるものは、次のうちどれか。ただし、 $x,\ y$ は実数とする。

① $p:x=y\ \ q:x^{2}=y^{2}$

② $p:x^{2}=4\ \ q:x=2$

③ $p:x\lt 2\ \ q:-1\lt x\lt 1$

④ $p:\triangle ABC=\triangle DEF\ \ q:\triangle ABC\equiv \triangle DEF$

⑤ $p:$ 四角形 $ABCD$ は長方形　 $q:$ 四角形 $ABCD$ は正方形

今回の問題について

令和5年の都立看護専門学校の問題からです。

前々回と同じパターンの問題ですが、一つどこかで見たような条件がありますね。

十分条件ではないことが分かれば選択肢から外しても大丈夫ですので

(1)命題 $p\Longrightarrow q$ が真であることを確かめる。

(2)命題 $q\Longrightarrow p$ が偽であることを確かめる。

という手順で解いていこうと思います。

④に関してはX（旧Twitter）で投稿しましたので、ここは詳細に解説します。

今回の問題の解説

① $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べてみます。

$x=y$ であれば $x^{2}=y^{2}$ が成り立ちますので、この命題は真です。

逆の $q\Longrightarrow p$ の真偽を調べてみます。

$x=1,\ y=-1$ のとき、 $x^{2}=1,\ y^{2}=1$ ですので、仮定の $x^{2}=y^{2}$ は成り立ちます。ところが、結論の $x=y$ は成り立ちませんので、これが反例となります。したがって、この命題は偽です。

以上から、 $p$ は $q$ であるための十分条件と言えますので、これを選択肢に入れておきます。

② $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

$x$ の方程式 $x^{2}=4$ を解くと $x=\pm 2$ です。したがって、 $x=-2$ が仮定の条件 $p$ を満たし、結論の条件 $q$ を満たさないもの（反例）となりますので、この命題は偽です。この時点で $p$ は $q$ であるための十分条件とは言えなくなりましたので、選択肢から外します。

③ $P=\{ x|x\lt 2\} ,\ Q=\{ x|-1\lt x\lt 1\}$ とおきます。これらの集合について、包含関係 $Q\subset P$ が成り立ちますので、 $q$ は $p$ であるための十分条件と言えますが、 $p$ は $q$ の十分条件とは言えません。よって、これを選択肢から外します。

④ $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

$\triangle ABC=\triangle DEF$ は $\triangle ABC$ の面積と $\triangle DEF$ の面積が等しいという意味です。下の図において、直線 $AB$ と直線 $CD$ は平行であるとします。このとき、 $\triangle ABC$ と $\triangle ABD$ は面積は等しいですが、合同な図形ではありません。この $\triangle ABD$ を改めて $\triangle DEF$ とすれば反例を作ることができます。よって、この命題は偽です。