必要条件・十分条件の問題【常葉大学2023年奨学生入試】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

$a$ と $b$ は実数とする。

(1) $a+b$ が有理数であることは $a$ と $b$ がともに有理数であるための（　）

(2) $a^{2}\gt b^{2}$ であることは $a^{4}\gt b^{4}$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

常葉大学2023年奨学生入試で出題された問題です。

数に関する必要条件・十分条件の問題です。

命題「 $a+b$ が有理数 $\Longrightarrow a$ と $b$ がともに有理数」の真偽を調べます。

$a=\sqrt{2},\ b=-\sqrt{2}$ のとき、 $a+b=0$ で有理数となりますが、このとき $a$ と $b$ は有理数ではありません。

これが反例となりますので、この命題は偽となります。

命題「 $a$ と $b$ がともに有理数 $\Longrightarrow a+b$ が有理数」は真の命題です。

以上から、 $a+b$ が有理数であることは $a$ と $b$ がともに有理数であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

命題「 $a^{2}\gt b^{2}\Longrightarrow a^{4}\gt b^{4}$ 」の真偽を調べます。

仮定より $a^{2}-b^{2}\gt 0$ が成り立ちます。

$a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$ と $a$ と $b$ が実数であることより、 $a^{2}+b^{2}\gt 0$ が成り立ちます。

仮定と合わせると $a^{4}-b^{4}\gt 0$ であることが示されるので、 $a^{4}\gt b^{4}$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真の命題となります。

命題「 $a^{4}\gt b^{4}\Longrightarrow a^{2}\gt b^{2}$ 」の真偽を調べます。

仮定より $a^{4}-b^{4}\gt 0$ が成り立ちます。

$a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})$ と仮定より $a\not= b,\ a^{2}\geqq 0,\ b\geqq 0$ なので $a^{2}+b^{2}\gt 0$ が成り立ちます。

したがって、 $a^{2}-b^{2}\gt 0$ が成り立ちますので、 $a^{2}\gt b^{2}$ となります。

よって、この命題は真の命題となります。

以上から、 $a^{2}\gt b^{2}$ であることは $a^{4}\gt b^{4}$ であるための「必要十分条件」となります。

(1)の問題は頻出問題ですので、ぜひとも解けておきたい問題です。

当ブログでも何度か出題しているタイプの問題かと思います。

(2)の問題については反例を探そうとすると、とてつもなく時間がかかります。

こういう問題でも意外と因数分解の知識が必要となってきます。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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