必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学一般入試後期日程】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

$x,\ y$ は実数とする。

(1) $x,\ y$ がともに整数であることは $xy,\ x+y$ がともに整数であるための（　）

(2) $xy+2=x+2y$ が成り立つことは $x=1$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

2022年常葉大学一般入試後期日程で出題された問題です。

数に関する問題は考えている数の集合に注意が必要です。

整数に関しては、整数同士の和・積は整数になりという性質があります。

したがって、命題 $x,\ y$ がともに整数 $\Longrightarrow xy,\ x+y$ がともに整数は真の命題となります。

この逆の命題 $xy,\ x+y$ がともに整数 $\Longrightarrow x,\ y$ がともに整数については $x=\sqrt{2},\ y=-\sqrt{2}$ とすると

$xy=-2,\ x+y=0$

となり、ともに整数ですが、 $x$ と $y$ はともに整数ではありませんので、これがこの命題の反例となります。

以上から、 $x,\ y$ がともに整数であることは $xy,\ x+y$ がともに整数であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

等式 $xy+2=x+2y$ を以下のように変形していきます。

$\begin{eqnarray*} xy+2&=&x+2y\\ xy-x-2y+2&=&0\\ x(y-1)-2(y-1)&=&0\\ (x-2)(y-1)&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、次の命題の真偽を調べれば良いということになります。

(i) $(x-2)(y-1)=0\Longrightarrow x=1$

(ii) $x=1\Longrightarrow (x-2)(y-1)=0$

(i)の命題については $x=2,y=1$ が、(ii)の命題については $x=1,y=2$ がそれぞれ反例となりますので、これら2つの命題はともに偽ということになります。

したがって、 $xy+2=x+2y$ が成り立つことは $x=1$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

(1)の問題については頻出問題ですので、反例や整数の性質を覚えておくと良いでしょう。

(2)の問題については式変形をしてみると反例が見つけやすいです。

等式に関する問題は式変形をしていくと証明が完了したり、反例が見つかることが多いです。

今回のように $=0$ の形にしてしまうと因数分解ができることがありますので、式変形を試みることも良い方法です。

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。