必要条件・十分条件の問題【2023年九州産業大学】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1) $x$ が有理数であることは $x=0$ であるための（　）

(2) $x$ が無限小数であることは $x$ が無理数であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2023年の九州産業大学で出題された問題です。

少し注意が必要な問題です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

以下の2つの命題を考えます。

・ $x$ が有理数ならば $x=0$

・ $x=0$ ならば $x$ は有理数

反例は仮定を満たして結論を満たさないものです。

これが1つでも見つかれば、その命題は偽の命題であることがわかります。

前者の命題は $x=1$ は有理数で、仮定を満たしていますが、 $0$ ではありませんので結論の $x=0$ を満たしていません。

したがって、この命題は偽の命題です。

一方、後者の命題は $0$ は有理数ですので、 $x=0$ ならば $x$ は有理数です。

よって、この命題は真の命題となります。

以上から、 $x$ が有理数であることは $x=0$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

以下の2つの命題を考えます。

・ $x$ が無限小数ならば $x$ は無理数である

・ $x$ が無理数であるならば $x$ は有限小数である

実数のうち、分数の形で表すことができるものを有理数、そうでないものを無理数といいます。

$0.3333\cdots$ （小数点以下がすべて $3$ である無限小数）を考えてみます。

$x=0.3333\cdots$ とおくと、 $10x=3.3333\cdots$ となります。

このとき

$10x-x=3$

が成り立ちますが、この方程式を解くと $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ となります。

したがって、無限小数 $0.3333\cdots$ は分数 $\displaystyle \frac{1}{3}$ と表すことができますので、有理数です。

これが前者の命題の反例となりますので、前者の命題は偽の命題であることがわかります。

後者の命題については、無理数は必ず小数点以下に数字の並びがどこかで繰り返されている循環小数にはなりませんが、無限小数にはなります。

したがって、この命題は真の命題になります。

以上から、 $x$ が循環小数であることは $x$ が無理数であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

直感でいくと罠にかかりそうな問題でした。

しっかりと命題を立てて真偽を確かめていけば正解に行き着くかと思います。

あとは知識でしょうか。忘れてしまったときは復習が欠かせません。

次回以降はしばらく、センター試験の過去問を扱っていこうと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。