必要条件・十分条件の問題【2023年大阪大谷大学】

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1) $a=b=0$ であることは $a+b=0$ であるための（　）

(2) $a=b$ であることは $|a+b|=|a-b|$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

令和5年の大阪大谷大学からの問題です。

大学入試の問題ですので、しっかり命題を立てて慎重に証明もしくは反例を探していかないと落とし穴にかかってしまいます。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題「 $a=b=0\Longrightarrow a+b=0$ 」の真偽を調べます。

$a=b=0$ のとき $a+b=0+0=0$ となりますので、この命題は真です。

命題「 $a+b=0\Longrightarrow a=b=0$ 」の審議を調べます。

$a=1,\ b=-1$ のとき $a+b=1-1=0$ で仮定を満たしていますが、結論の $a=b=0$ は満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 $a=b=0$ であることは $a+b=0$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題「 $a=b\Longrightarrow |a+b|=|a-b|$ 」の真偽を調べます。

$a=b=1$ のとき、仮定の $a=b$ を満たしていますが $|a+b|=2,\ |a-b|=0$ となりますので、結論の $|a+b|=|a-b|$ を満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

命題「 $|a+b|=|a-b|\Longrightarrow a=b$ 」の真偽を調べます。

$a=0,\ b=1$ のとき、 $|a+b|=1,\ |a-b|=1$ となりますので、仮定は満たしています。ところが $a\not= b$ ですので、結論の $a=b$ を満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 $a=b$ であることは $|a+b|=|a-b|$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

反例を見つけるには式変形をしてみるのが良いかと思います。

例えば、 $a+b=0$ を満たして、 $a=b$ ではないものを探したいときは $a+b=0$ を $a=-b$ と変形すれば $a$ か $b$ のうちどちらかの数値を設定してやれば反例が出てきます。ただし、 $a=0$ に設定してしまうと $b=0$ となって $a=b$ を満たしてしまうので、これを避けて設定します。

$|a+b|=|a-b|$ を満たすもので $a=b$ を満たさないものを探したいときは $a$ か $b$ のどちらかを $0$ に設定すると探すのが楽です。今回の場合は $a=0$ に設定しましたが、そうすると $|b|=|-b|$ …①となる数 $b$ を探すことになります。ですが、絶対値の性質より、①を満たす数 $b$ は何でも良いので、 $a$ と異なる数値を設定してあげるとそれが反例として挙げることができます。