マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

yahoo!知恵袋にあった問題3【必要条件・十分条件】

大学入試対策必要条件・十分条件

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $x\lt 1$ は $x\leqq 1$ であるための（　）

(2) $x\lt y$ は $x^{4}\lt y^{4}$ であるための（　）

(3) $xy+1=x+y$ は $x,\ y$ のうち少なくとも一方が $1$ であるための（　）

(4) $\triangle ABC$ において、 $\angle A\lt 90^{\circ }$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回もyahoo!知恵袋にあった問題です。

(3)の問題が少し難しいかもしれません。

命題を作って真偽を調べれば解ける問題ですので、反例が見つからなければ証明ができないかを考えてみてください。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$x\lt 1\Longrightarrow x\leqq 1$ の真偽を調べます。

$x\lt 1$ であれば $x$ は $1$ より大きいので、当然 $x\leqq 1$ となります。

したがって、この命題は真です。

$x\leqq 1\Longrightarrow x\lt 1$ の真偽を調べます。

$x=1$ は仮定の $x\leqq 1$ を満たしますが、結論の $x\lt 1$ を満たしません。

よって、 $x=1$ が反例となりますので、この命題は偽です。

以上から、 $x\lt 1$ は $x\leqq 1$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

$x\lt y\Longrightarrow x^{4}\lt y^{4}$ の真偽を調べます。

$x=-5,\ y=1$ は仮定の $x\lt y$ を満たします。

ところが、 $x^{4}=625,\ y^{4}=1$ ですので $x^{4}\lt y^{4}$ は満たしません。

これが反例となりますので、この命題は偽です。

$x^{4}\lt y^{4}\Longrightarrow x\lt y$ の真偽を調べます。

$x=1,\ y=-5$ は $x^{4}=1,\ y^{4}=625$ となりますので、 $x^{4}\lt y^{4}$ を満たします。

ところが、 $x\lt y$ は満たしませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $x\lt y$ は $x^{4}\lt y^{4}$ であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

(3)の問題について

等式 $xy+1=x+y$ を変形すると

$\begin{eqnarray*} xy+1&=&x+y\\ xy-x-y+1&=&0\\ x(y-1)-(y-1)&=&0\\ (x-1)(y-1)&=&0\end{eqnarray*}$

したがって、 $xy+1=x+y$ は $x,\ y$ のうち少なくとも1つは $1$ であるための「必要十分条件」となります。

(4)の問題について

$\angle A\lt 90^{\circ }\Longrightarrow \triangle ABC$ が鋭角三角形の真偽を調べます。

$\angle A=30^{\circ },\ \angle B=135^{\circ },\ \angle C=15^{\circ }$ の $\triangle ABC$ は $\angle A\lt 90^{\circ }$ を満たしますが、この三角形は鋭角三角形ではなく鈍角三角形です。

よって、この三角形が反例となりますのでこの命題は偽です。

$\triangle ABC$ が鋭角三角形 $\Longrightarrow \angle A\lt 90^{\circ }$ の真偽を調べます。

鋭角三角形はすべての角の大きさが $90^{\circ }$ より小さい三角形のことを言いますので、 $\angle A\lt 90^{\circ }$ です。

よって、この命題は真です。

以上から、 $\angle A\lt 90^{\circ }$ は $\triangle ABC$ が鋭角三角形であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

今回は殆どが基礎問題でした。

まずは命題を立てて、反例がないかを探してみてください。

反例の探し方は仮定を満たして結論を満たさないものを見つけることです。

次回の問題ではそこに焦点を当てて解説していきます。

　

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