マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件【合同な図形と辺の長さ・角の大きさ】

必要条件・十分条件大学入試対策

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

2つの三角形 $\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ についての条件を次のように定める。

$p:\triangle ABC\equiv \triangle DEF$

$q: AB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD$

$r:\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ \angle C=\angle F$

（　）に入るものとして「必要十分条件である」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものはどれか。

(1) $p$ は $q$ であるための（　）

(2) $p$ は $r$ であるための（　）

今回の問題について

今回の問題は必要条件・十分条件の問題を解く上での解説を考えるために私が例として設定したものです。

気をつけていただきたい点は

１．三角形の合同条件

２．三角形の３つの対応する角が等しい状況でも合同になるとは限らない

というところです。

三角形の合同条件については中学２年の数学の内容で出てきますが、このタイプの問題が共通テストで出ないとは言い切れませんので忘れてしまった場合は復習が必要です。

なお、三角形の合同条件は次の３つです。

(1)３組の辺がそれぞれ等しい

(2)２組の辺とその間の角の大きさがそれぞれ等しい

(3)１組の辺とその両端の角の大きさがそれぞれ等しい

今回の問題の解説

(1)の問題の解説

$p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

$\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ ならば、合同な図形の対応する辺の長さは等しいので

$AB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD$

が成り立ちます。

したがって、この命題の真偽は「真」ですので条件 $p$ は十分条件であることがわかります。

$q\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$AB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD$ ならば、対応する３の辺がそれぞれ等しいので、三角形の合同条件から $\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ が成り立ちます。

したがって、この命題の真偽は「真」ですので条件 $p$ は必要条件であることがわかります。

以上より条件 $p$ は $q$ であるための「必要十分条件」となります。

(2)の問題の解説

$p\Longrightarrow r$ の真偽を調べます。

$\triangle ABC\equiv \triangle DEF$ ならば、合同な図形の対応する角の大きさは等しいので

$\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ \angle C=\angle F$

が成り立ちます。

したがって、この命題の真偽は「真」ですので条件 $p$ は十分条件であることがわかります。

$r\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$\triangle ABC$ を１辺の長さが $1$ の正三角形、 $\triangle DEF$ を１辺の長さが $2$ の正三角形とします。

このとき、 $\angle A,\ \angle B,\ \angle C,\ \angle D,\ \angle E,\ \angle F$ の大きさはすべて $60^{\circ }$ ですので

$\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ \angle C=\angle F$

が成り立ちます。ところが、これら２つの三角形は合同ではありませんので $\triangle ABC\not\equiv \triangle DEF$ となります。

この２つの三角形がこの命題の反例となりますので、真偽は「偽」となります。

よって、条件 $p$ は必要条件ではないことがわかります。

以上より条件 $p$ は $r$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

三角形の合同条件を知っていれば簡単そうな問題ですが、このような問題ほど油断をしていると落とし穴にはまります。

特に(2)の問題を何も考えずに「必要十分条件」と答えてしまうと０点になってしまいます。

確実に正解するためには命題の真偽を慎重に考えていくと良いと思います。

　

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