マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【正三角形と三角形の五心】

教員採用試験の過去問必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$\triangle ABC$ が正三角形であることは $\triangle ABC$ の内心と重心が一致するための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回の問題は2018年大阪府教員採用試験で出題された問題です。

ですが、高校の定期テストや大学入試、その他の試験でもよく出る問題です。

今回の問題の解説

今回の問題の答えは「必要十分条件」である。が正解です。

解答にあたっては証明は必要ありませんが、今回は証明を付けて解説します。

$\triangle ABC$ が正三角形であることの十分性

命題「 $\triangle ABC$ が正三角形 $\Longrightarrow \triangle ABC$ の内心と重心が一致する」を証明します。

命題の証明

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、直線 $AG$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。

$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ において

$\triangle ABC$ は正三角形なので $AB=AC$ …①

直線 $AG$ は $\triangle ABC$ の中線なので $BD=CD$ …②

共通な辺なので $AD=AD$ …③

①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので $\triangle ABD\equiv \triangle ACD$

合同な図形の対応する角の大きさは等しいので $\angle BAD=\angle CAD$

したがって、直線 $AG$ は $\angle BAC$ の二等分線である。

同様に、直線 $BG$ 、 $CG$ はそれぞれ $\angle ABC$ 、 $\angle BCA$ の二等分線である。

ゆえに、3つの頂点の角の二等分線は点 $G$ で1点で交わるので、点 $G$ は $\triangle ABC$ の内心である。

$\triangle ABC$ が正三角形であることの必要性

命題「 $\triangle ABC$ の内心と重心が一致する $\Longrightarrow \triangle ABC$ が正三角形」を証明します。

命題の証明

$\triangle ABC$ の内心および重心を $G$ とする。

直線 $AG$ と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。

点 $D$ は辺 $BC$ の中点になるので $BD=CD$ …①

直線 $AG$ は $\angle CAB$ の二等分線なので

$AB:AC=BD:DC$ …②

①、②より $AB=AC$

同様に $BC=BA$ 、 $CA=CB$ であることが言えるので、 $\triangle ABC$ は正三角形である。

いかがだったでしょうか？

正三角形の外心、内心、重心、垂心はすべて一致します。

逆に三角形の外心、内心、重心、垂心のうち、どれか2つが一致すればその三角形は正三角形になります。

証明は大変ですが、このことを覚えていると今回のような問題は即答できるようになります。

　

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