ご訪問ありがとうございます!
解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!
目次
・今回の問題
・今回の問題の原文(記述式)
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜
今回の問題
今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通第4問です。
今回の問題の原文(記述式)
は1辺の長さが1の正三角形であり、とする。を正の数とし、直線上に点をそれぞれを満たすようにとる。の重心を、線分の中点をとするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。
(1)内積、をそれぞれ求めなさい。
(2)が正の実数全体を動くとき、の面積を最小にするの値とそのときの面積を求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
ベクトルを用いて三角形の面積の最小値を求める問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
内積の値を求める
最初に内積の値を求めることを要請されていますので、この値を求めていきます。内積の定義によれば
です。が1辺の長さが1の正三角形であることから
であることがわかります。したがって、よりとなります。
続いて内積の値を求めます。とをで表す必要があります。ここではベクトルの基本計算を用いて計算していきます。点がの重心であることから
となります。また、点は線分の中点ですので
となります。したがって、とであることより
となります。あとは内積の計算をしていくだけです。という結果が得られますので、直線と直線は垂直に交わっていることがわかります。
の面積を求める
先ほどの結果からの値に関係なくであることがわかっています。したがって、の面積は
で求めることができます。内積の計算により
となりますので、の面積は
となります。これはの2次関数ですので、次のように平方完成します。
よって、の面積はのとき最小値をとります。
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜
計算が大変ですが、方針は立てやすい問題でした。
問題に書いてある順番に解いていけば、最後の答えに行き着くように作られています。
基本的な方針はとで表すことができないか?と考えていくことです。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
Twitterで更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)