マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2018年中高共通第4問】

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
今回の問題の原文(記述式)
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

今週は2018年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文(記述式)

 \triangle OABは1辺の長さが1の正三角形であり、 \overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b}とする。 tを正の数とし、直線 OA,\ OB上に点 C,\ Dをそれぞれ \overrightarrow{OC}=t\vec{a},\ \overrightarrow{OD}=t\vec{b}を満たすようにとる。 \triangle OCDの重心を G、線分 BCの中点を Mとするとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)内積 \vec{a}\cdot \vec{b} \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MG}をそれぞれ求めなさい。

(2) tが正の実数全体を動くとき、 \triangle AGMの面積を最小にする tの値とそのときの面積を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ベクトルを用いて三角形の面積の最小値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

内積の値を求める

最初に内積 \vec{a}\cdot \vec{b}の値を求めることを要請されていますので、この値を求めていきます。内積の定義によれば

 \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos{\angle AOB}

です。 \triangle OABが1辺の長さが1の正三角形であることから

 |\vec{a}|=OA=1,\ |\vec{b}|=OB=1,\ \angle AOB=60^{\circ }

であることがわかります。したがって、 \displaystyle \cos{60^{\circ }}=\frac{1}{2}より \displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}となります。

続いて内積 \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MG}の値を求めます。 \overrightarrow{MA} \overrightarrow{MG} \vec{a},\ \vec{b}で表す必要があります。ここではベクトルの基本計算 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}を用いて計算していきます。点 G \triangle OCDの重心であることから

 \displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{t}{3}\vec{a}+\frac{t}{3}\vec{b}

となります。また、点 Mは線分 BCの中点ですので

 \displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{t}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}

となります。したがって、 \overrightarrow{MA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} \overrightarrow{MG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OM}であることより

 \displaystyle \overrightarrow{MA}=\left( 1-\frac{t}{2}\right) \vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}

 \displaystyle \overrightarrow{MG}=-\frac{t}{6}\vec{a}+\left( \frac{t}{3}-\frac{1}{2}\right) \vec{b}

となります。あとは内積の計算をしていくだけです。 \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MG}=0という結果が得られますので、直線 AMと直線 GMは垂直に交わっていることがわかります。

 \triangle AGMの面積を求める

先ほどの結果から tの値に関係なく AM\perp GMであることがわかっています。したがって、 \triangle AGMの面積は

 \displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{GM}|

で求めることができます。内積の計算により

 \displaystyle |\overrightarrow{MA}|^{2}=\frac{1}{4}(t^{2}-3t+3)

 \displaystyle |\overrightarrow{MG}|^{2}=\frac{1}{12}(t^{2}-3t+3)

となりますので、 \triangle AGMの面積は

 \begin{eqnarray*} \triangle AGM&=&\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\sqrt{t^{2}-3t+3}\times \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{t^{2}-3t+3}\\ &=&\frac{1}{8\sqrt{3}}(t^{2}-3t+3)\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{24}(t^{2}-3t+3)\end{eqnarray*}

となります。これは tの2次関数ですので、次のように平方完成します。

 \displaystyle t^{2}-3t+3=\left( t-\frac{3}{2}\right) ^{2}+\frac{3}{4}

よって、 \triangle AGMの面積は \displaystyle t=\frac{3}{2}のとき最小値 \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{32}をとります。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

計算が大変ですが、方針は立てやすい問題でした。

問題に書いてある順番に解いていけば、最後の答えに行き着くように作られています。

基本的な方針は \vec{a} \vec{b}で表すことができないか?と考えていくことです。

 

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