九州女子大学の過去問【2019年一般入試C日程】

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今回の問題

九州女子大学2019年C日程の問題です。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

同じ年のA日程、B日程の問題より易しいと思います。第3問あたりまでは中学生でも解けそうな気がします。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

$a=\sqrt{5}+2$ の小数部分を $b$ とするとき、 $2\lt \sqrt{5}\lt 3$ より

$4\lt a\lt 5$

が成り立ちますので、 $b=a-4=\sqrt{5}-2$ となります。

よって

$\begin{eqnarray*} a+b&=&(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2)\\ &=&2\sqrt{5}\\ ab&=&(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\\ &=&5-4\\ &=&1\end{eqnarray*}$

となります。また、

$\begin{eqnarray*} a^{2}+ab-2b^{2}&=&(\sqrt{5}+2)^{2}+1-2(\sqrt{5}-2)^{2}\\ &=&5+4\sqrt{5}+4+1-2(5-4\sqrt{5}+4)\\ &=&10+4\sqrt{5}-18+8\sqrt{5}\\ &=&12\sqrt{5}-8\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}&=&(a+b)^{2}-2ab\\ &=&(2\sqrt{5})^{2}-2\cdot 1\\ &=&20-2\\ &=&18\end{eqnarray*}$

より

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}+\frac{a}{b}&=&\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\\ &=&\frac{18}{1}\\ &=&18\end{eqnarray*}$

となります。

答：1…②　2…①　3…⑤　4…⑧

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

以下のように計算していきます。

$\begin{eqnarray*} 3\sqrt{12}-\frac{12}{\sqrt{3}}+\sqrt{27}&=&6\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}\\ &=&5\sqrt{3}\\ \sqrt{\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{6}}&=&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\\ &=&\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}\\ &=&\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sqrt{6}\\ &=&0\cdot \sqrt{6}\\ &=&0\end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{27}-\frac{4}{\sqrt{8}}+\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6}}-\frac{18}{\sqrt{3}}&=&3\sqrt{3}-\sqrt{2}+5\sqrt{2}-6\sqrt{3}\\ &=&4\sqrt{2}-3\sqrt{3}\end{eqnarray*}$

答：5…⑩　6…②　7…⑩

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

該当する数を列挙して数えたほうが早そうです。

(1) $54,\ 60,\ 66,\ 72,\ 78,\ 84,\ 90,\ 96$ の $8$ 個が $6$ の倍数です。

(2)(1)であげた数のうち、 $72$ と $96$ が $8$ の倍数ですので、これを除いて、求める場合の数は $6$ 個です。

(3) $52,\ 57,\ 62,\ 67,\ 72,\ 77,\ 82,\ 87,\ 92,\ 97$ の $10$ 個が $5$ で割ると $2$ 余る数です。

(4) $3,\ 4,\ 6$ の最小公倍数は $12$ ですので、 $12$ の倍数であるものを見つければ良いということになります。

その数は $60,\ 72,\ 84,\ 96$ の $4$ 個です。

答：8…⑤　9…③　10…⑥　11…①

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

反復試行の確率の問題です。

$1$ の目が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6}$ 、それ以外の目が出る確率は $\displaystyle \frac{5}{6}$ です。

このことに考慮して確率を求めていきます。

(1) $1$ の目がちょうど $2$ 回出る確率は

$\begin{eqnarray*} _{4}C_{2}\left( \frac{1}{6}\right) ^{2}\left( \frac{5}{6}\right) ^{2}&=&6\times \frac{1}{6^{2}}\times \frac{5^{2}}{6^{2}}\\ &=&\frac{25}{216}\end{eqnarray*}$

(2) $1$ の目がちょうど $3$ 回出る確率は

$\begin{eqnarray*} _{4}C_{3}\left( \frac{1}{6}\right) ^{3} \left( \frac{5}{6}\right) &=&4\times \frac{1}{6^{3}}\times \frac{5}{6}\\ &=&\frac{20}{6^{4}}\end{eqnarray*}$

$4$ 回とも $1$ の目が出る確率は $\displaystyle \frac{1}{6^{4}}$ なので、 $1$ の目が $3$ 回以上出る確率は

$\begin{eqnarray*} \frac{20}{6^{4}}+\frac{1}{6^{4}}&=&\frac{21}{6^{4}}\\ &=&\frac{7}{432}\end{eqnarray*}$

$4$ 回目に $3$ 度目の $1$ が出る確率は、 $3$ 回目までに $1$ の目が出たあと、 $4$ 回目に $1$ の目が出れば良いので、求める確率は

$\begin{eqnarray*} _{3}C_{2}\left( \frac{1}{6}\right) ^{2}\left( \frac{5}{6}\right) \times \frac{1}{6}&=&3\times \frac{1}{6^{2}}\times \frac{5}{6}\times \frac{1}{6}\\ &=&\frac{5}{432}\end{eqnarray*}$