マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2021年1日目第1問・第2問】

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今週は東京女子大学2021年の問題です。

今回は文系学部1日目第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

対数関数に関する問題とベクトルの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)等比数列と対数関数の融合問題です。

等比数列の初項を a、公比を rとする数列を \{ a_{n}\}とすると a_{n}=ar^{n-1}となります。

したがって、問題文の式を計算していくと

 (l-m)\log_{2}{a_{n}}+(m-n)\log_{2}{a_{l}}+(n-l)\log_{2}{a_{m}}

 =(l-m)\log_{2}{ar^{n-1}}+(m-n)\log_{2}{ar^{l-1}}+(n-l)\log_{2}{ar^{m-1}}

 =(l-m)\{ \log_{2}{a}+(n-1)\log_{2}{r}\} +(m-n)\{ \log_{2}{a}+(l-1)\log_{2}{r}\}

 \ +(n-l)\{ \log_{a}+(m-1)\log_{2}{r}\}

 =(l-m+m-n+n-l)\log_{2}{a}

 \ +(ln-mn-l+m+lm-ln-m+n+mn-lm-n+l)\log_{2}{r}

 =0

(2)この問題に関しては、ベクトルの基本的な計算( \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})で解くことができます。

 \displaystyle \overrightarrow{CP}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b},\ \overrightarrow{CQ}=\frac{3}{4}\vec{b},\ \overrightarrow{CR}=\frac{1}{2}\vec{a}であることから

 \displaystyle \overrightarrow{RP}=\overrightarrow{CP}-\overrightarrow{CR}=\frac{1}{6}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}

 \displaystyle \overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{CR}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}

となります。最終的には \angle PRQの大きさを求めるのですが、 \cos{\angle PRQ}の値が分かれば求められます。

ベクトルの内積の定義から \displaystyle \cos{\angle PRQ}=\frac{\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}}{|\overrightarrow{RP}||\overrightarrow{RQ}|}ですので、 \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}の値と |\overrightarrow{RP}|,\ |\overrightarrow{RQ}|の値が分かれば良いということになります。

 \triangle ABCが一辺の長さが1の正三角形であることから \displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=1,\ \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}ですので

 \displaystyle \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}=\frac{7}{48}

 \displaystyle |\overrightarrow{RP}|=\frac{\sqrt{7}}{6},\ |\overrightarrow{RQ}|=\frac{\sqrt{7}}{4}

となりますので \displaystyle \cos{\angle PRQ}=\frac{1}{2}より \displaystyle \angle PRQ=\frac{\pi }{3}であることがわかります。

いかがだったでしょうか?

今回の問題はほとんど計算でした。

少し大変ですが、入試問題ではこのくらいの計算量が要求されます。

入試問題集などで練習しておくほうが良いかもしれません。

 

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東京女子大学の問題【2020年2日目第4問】

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今週は東京女子大学の2020年の問題です。

今回は文系学部2日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

空間座標の問題ですが、メインは2次関数です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

求めるものは APの長さの最小値なので \overrightarrow{AP}を成分表示します。

 \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}であることから

 \displaystyle \overrightarrow{AP}=\left( \frac{2}{3}t-a,-\frac{2}{3}t,\frac{1}{3}t+2\right)

になります。この成分表示から \overrightarrow{AP}の大きさを求めます。

 \displaystyle |\overrightarrow{AP}|=\left\{ t-\left( \frac{2}{3}a-\frac{1}{3}\right) \right\} ^{2}+\frac{5}{9}a^{2}-\frac{8}{9}a+\frac{32}{9}

となりますので、 \displaystyle \{ m(a)\} ^{2}=\frac{5}{9}a^{2}-\frac{8}{9}a+\frac{32}{9}となります。

この \{ m(a)\} ^{2}の最小値を求めますが、2次関数になっていますので平方完成によって求めることができます。

 \displaystyle \{ m(a)\} ^{2}=\frac{5}{9}\left( a-\frac{4}{5}\right) ^{2}+\frac{16}{5}

ですので、 \{ m(a)\} ^{2}の最小値は \displaystyle a=\frac{4}{5}のとき最小値 \displaystyle \frac{16}{5}をとります。

 m(a)はその平方根なので m(a) \displaystyle a=\frac{4}{5}のとき最小値 \displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{5}になります。

いかがだったでしょうか?

ベクトルが成分表示されているので解く方針は立てやすいかと思います。

ただ、計算が大変になります。

2次関数の最小値の最小を求める問題になりますが、この問題に関しては色々な問題集に載っている問題です。

全単元を復習することが理想ですが、入試が近くなっているので入試問題で復習していくほうが良いかもしれませんね。

 

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円周率が3だと証明した⁉Yahoo!知恵袋に現れた主張の矛盾を暴く!

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今回は問題ではなく、気になったことがありましたのでそれを書いていこうと思います。

2016年頃に「円周率は3であることを証明した」と主張する人物が現れました。

誰が見ても嘘か間違っていることはわかるだろうと思います。

だって、円周率が3であることが正しいかったらずっと3で計算しているはずですもんね!そのほうが計算も楽ですし。

でも、小学校では 3.14、中学以降では \pi が使われていて、大学以上で行われる数学の研究でも円周率 \pi は大活躍です。

では、なぜ円周率は3ではなくて 3.14\cdots \cdots  \pi が使われているのでしょうか?

このような観点から入試問題を使って「円周率が3である」と主張している人物の矛盾を暴いていこうと思います!

円周率を3であることを証明した人物

Yahoo!知恵袋に突如現れ、「円周率が3であることを証明した」と主張する人物は、調べによると「植野和男」という人物です。

詳細のプロフィールはこちらです。↓

chiebukuro.yahoo.co.jp

自己紹介によると「元 東京都公立中学校教員で、退職後仙台市で年金暮らし。 11年前から円周率π=3の証明が出来たけど。 ベクトルの大きさを理解出来ない人が多いので、世界に発表する事が出来ない。円周は点ベクトルの集合体だから、線分では表せない。ベクトルは長さで表せない、力と同じで大きさで表示できる量です。3.14は誤りです。」とのことです。(2016年に書いたものと思われます)

しかし、彼の \pi =3の証明がどこにも見つかりませんし、質問の回答も矛盾している点が多く見受けられます。

自己紹介の文章にも不可解な点がありますね。

「位置ベクトル」ならわかりますが「点ベクトル」とは何でしょう?

「ベクトルは長さでは表せない」とおっしゃっていますが有向線分の大きさは何を表しているのでしょうか?

理科の教員だったそうですが、まともに数学と物理学の勉強を行っていたのかが疑問です。

円周率が3であることが正しいというのであれば「世界に発表することができない」理由を「ベクトルの大きさ」の定義とともに明示いただいて証明をしてほしいと思います。

ですが、彼の主張を覆す資料のほうが多く見受けられました。

その一つが2003年、東京大学で出題されたとある問題です。

今回の問題について~なぜ円周率は3ではなく 3.14 \pi を使うのか~

東京大学2003年の理系の問題で次のような問題が出題されました。

「円周率が 3.05より大きいことを証明せよ」

入試数学では超有名な問題で、知らない人は少ないかと思います。伝説の問題としても扱われてるみたいですね。

円周率は \displaystyle \frac{円周}{直径}で定義されています。

今はこの値をわからないものとして扱いますので Xとおきます。

この定義から、半径1の円の円周の長さは 2Xとなります。

この Xの値を求める方法の一つとして円に内接する正多角形の周の長さと比較する方法があります。

ここで注意したいのは、 \sqrt{2} \sqrt{3}のような2乗根の近似値はわかっているものとして扱います。

円とその円に内接する正六角形について考えてみます。図で表すとしたのようになり、赤色が円周、青色が円に内接する正六角形です。

円に内接する正六角形の1辺の長さを求めてみます。

図では円の中心に向かって補助線を引いていますが、このできた三角形に対して余弦定理を使います。

 \triangle AOBに注目して考えてみます。

円の半径は1と設定していますので、 AO=BO=1です。

また、中心は6等分していますので、 \angle AOB=60^{\circ }となっています。

したがって、 \displaystyle AB^{2}=1+1-2\cos{60^{\circ }}=1ですので AB=1です。

したがって、正六角形の周の長さは6となります。

2点間の距離は線分が最短ですので 2X>6すなわち X>3という結果が出てきます。

この結果から円周率は3より大きいことが言えます。つまり、円周率は3ではないということですね。

円周率が3だと主張するのであれば、上の図の赤い線で描いた円と青い線で描いた正六角形がピッタリ重なるはずですが、明らかにそうではないです。

仮に正しいとすれば、円周が折れ線となりますので「円周は線分で表すことができない」と矛盾します。

円と正十二角形で考えるとどうなるでしょうか?図で表してみると以下のようになります。

緑色の線が円に内接する正十二角形です。

先ほどと同じように正十二角形の周の長さを求めてみます。

図には書いていませんが、円の中心を Oとし、 \triangle AOBについて余弦定理を用いります。

 \angle AOB=30^{\circ }ですので、 AB^{2}=1+1-2\cos{30^{\circ }}=2-\sqrt{3}となります。

したがって、 \displaystyle AB=\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}となりますので、正十二角形の周の長さは 6(\sqrt{6}-\sqrt{2})となります。

2点間の距離は線分が最小となりますから、 2X>6(\sqrt{6}-\sqrt{2})すなわち X>3(\sqrt{6}-\sqrt{2})ということになります。

ここで \sqrt{2}=1.414,\ \sqrt{6}=2.449とすると \sqrt{6}-\sqrt{2}=1.035となりますので、 X>3.105(>3.05)ということになります。

これで問題が解けたのと同時に Xがよく知られている円周率の値に近づいていそうであることがわかったかと思います。

さらに、半径1に外接する正多角形を考えると、円に外接する正六角形の場合は周の長さが 4\sqrt{3}になりますので 3<X<2\sqrt{3}=3.464、円い外接する正十二角形の場合は周の長さが 24(2-\sqrt{3})となりますので 3.105<X<3.216ということが言えます。

視覚的に見ると、辺の数を増やすほど円に外接する正多角形の辺と円に内接する多角形の辺は同じ円周に近づいていきますので、 Xの値はある値に近づきそうな感じがします。

この値が無理数だと知られていますので \pi とおいていると言えそうです。

いかがだったでしょうか?

入試問題は受験生の公平性を担保するために正しい問題を出題することは当然のことですので、問題自体に間違いが無いと思っていても良いかと思います。

勉強、特に数学を勉強することは発信された情報の真偽を確かめるために役に立つツールであると言えるのではないでしょうか。

主張されていることがおかしいと思ったら確かめて裏をとることが非常に大事ですね。

 

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東京女子大学の問題【2020年2日目第3問】

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今回は文系学部2日目第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図形の問題です。数学Ⅱの三角関数の知識が必要です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

今回は図形の問題なので、問題文を理解して図を描きます。下の図のようになります。

黒い直線は \angle BACの二等分線です。

図では \angle BACは鋭角ですが、問題では鈍角であることに注意します。

 \triangle ABCの面積が \displaystyle \frac{9}{2}であることから

 \displaystyle \frac{1}{2}\times 3\times 5\sin{2\theta }=\frac{9}{2}が成り立ちますので、 \sin{2\theta }=\frac{3}{5}となります。

したがって、2\theta \gt 90^{\circ }であることと三角関数の相互関係から \displaystyle \cos{2\theta }=-\frac{4}{5}と求められます。

この値を使って \cos{\theta } \sin{\theta }の値を求めますが、ここでは半角の公式を使います。

 \displaystyle \cos{\theta }=\frac{1+\cos{2\theta }}{2},\ \sin{\theta }=\frac{1-\cos{\theta }}{2}より

 \displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{10}}{10},\ \sin{\theta }=\frac{3\sqrt{10}}{10}

となります。

さいごは ADの長さを求めるのですが、これは \triangle ABC ADで2つに分けて考えると

 \displaystyle \frac{3}{2}AD\sin{\theta }+\frac{5}{2}AD\sin{\theta }=\frac{9}{2}

より、 \displaystyle AD=\frac{3\sqrt{10}}{8}と求めることができます。

いかがだったでしょうか?

 2\theta 三角関数の値を用いる必要があるので、倍角の公式と半角の公式が必要な問題でした。

三角関数の単元でおさえておくべきところは加法定理とそこから導出される倍角の公式や半角の公式、三角関数の合成です。

この辺りが理解できれば三角関数の問題は怖くはないかと思います。

 

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東京女子大学の問題【2020年2日目第1問・第2問】

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今回は文系学部2日目第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

指数関数と整式の余りの問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)指数関数の性質として 2^{x}\gt 0があります。

したがって、 2^{x}=tとおくと、[t\gt 0]となります。

この置き換えにより、 y tの式で表すと

 y=t^{3}-4t^{2}-3t+9

となります。ここで得られた関数は3次関数ですので、最大値および最小値を求めるには微分して導関数を求めておく必要があります。

 \displaystyle \frac{dy}{dt}=3t^{2}-8t-3=(3t+1)(t-3)

ですので、関数 yの増減は以下のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c}\hline t&0&\cdots &3&\cdots \\ \hline \displaystyle \frac{dy}{dt}&\ &-&0&+&\ \\ \hline y&9&\searrow &-9&\nearrow \\ \hline \end{array}

したがって、 yの最小値は y=3のとき -9をとります。

(2)3次以上の多項式を3次式で割った余りは2次以下になりますので、 P(x) (x-1)(x-2)(x-3)で割った余りを ax^{2}+bx+cとおきます。

 P(x) (x-2)(x-3)で割った余りが 11x-11であることから P(2)=11,\ P(3)=22ですので

 4a+2b+c=11…①

 9a+3b+c=22…②

が得られます。さらに、 P(x) x-1で割った余りが 6ですので、剰余の定理より P(1)=6したがって、

 a+b+c=6…③

が得られます。①、②、③の連立方程式を解くと a=3,\ b=-4,\ c=7となります。

いかがだったでしょうか?

第1問は指数関数の最小値を求める問題でしたが、微分導関数に関する知識を要する問題でしたので、難しいかもしれませんが、入試問題ではよく出題される問題です。

第2問は剰余の定理に関する問題でした。この問題は基礎的な問題で、4STEPなどのような教科書用問題集のB問題で出題されそうな問題です。

いずれも用いている内容は基礎問題で出てくるようなところになりますので、そこまで難しい問題ではなさそうです。

 

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東京女子大学の問題【2020年1日目第4問】

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今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

漸化式の問題です。対数関数を用いります。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

対数関数には \log_{a}{PQ}=\log_{a}{P}+\log_{a}{Q}という性質があります。

この性質を用いると漸化式は b_{n+1}=b_{n}+nと変形できます。

この漸化式から b_{n+1}-b_{n}=nとなりますので、数列 \{b_{n}\}の階差数列が nであることがわかります。

したがって、 n\leqq 2のとき、 b_{n}=0ですので

 \displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}n(n-1)

となります。置き換えを元に戻すと \displaysyle a_{n}=2^{\frac{1}{2}n(n-1)}になります。

指数法則 a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}であることを用いると数列 \{ a_{n}\}の初項から第 n項までの積は 2^{f(n)}とおくと

 \displaysyle f(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}k(k-1)=\fra{1}{12}n(n+1)(n-1)

となります。

いかがだったでしょうか?

指数関数と対数関数の知識が必要なので少し難しいかもしれません。

ですが、使う知識はほとんど基本的のところばかりです。

入試問題では今回のように2項目以上の単元が複合して出題されることが多々あります。

ですので、いつどこでどの項目の内容を使えば良いかを判断する練習を入試問題を通してやっていくと良いです。

 

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東京女子大学の問題【2020年1日目第3問】

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今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

線分の比を求める問題です。今回はベクトルを用いています。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

メネラウスの定理が使えそうに見えますが、必要な辺の比の情報が不足しているので使えそうになさそうです。

そこで、ベクトルを使って辺の比を求めていきます。

まず \overrightarrow{AG}を求めます。

 G \triangle BCDの重心であることに注目します。

 Gは、辺 BCの中点を Mとすると、線分 DM 2:1に内分する点になります。

よって、 \displaystyle \overrightarrow{DG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DM}となりますので、 \overrightarrow {DG}が求められれば良いことになります。

 Dは辺 AC 1:3に内分する点ですので \displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\vec{c}であることがわかります。

また、点 Mは辺 BCの中点ですので \displaystyle \overrightarrow{AM}={1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}となります。

したがって、 \displaystyle \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}と導くことができます。

ここまでのことから \displaystyle \overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}ですので \displaystyle \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{5}{12}\vec{c}と求められます。

 A,\ E,\ G,\ Fは同じ直線上にありますので \overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AG},\ \overrightarrow{AF}=l\overrightarrow{AG}となる実数 k lが存在します。

これらの値が求められれば AE:EG:GFの比の値が求められます。

 Eは線分 BD上にあるので \displaystyle \overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}k\vec{b}+\frac{5}{12}k\vec{c}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{3}\overrightarrow{AD}かつ \displaystyle \frac{1}{3}k+\frac{5}{3}k=1が成り立ちます。

したがって、 k=\frac{1}{2}となります。

同じようにして、点 Fは線分 BC上にあるので \displaystyle \overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}l\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}l\overrightarrow{AC}かつ \displaystyle \frac{1}{3}l+\frac{5}{12}l=1が成り立ちますので、 AE:AG:AF=3:6:8であることが求められます。

この比から AE:EG:GF=3:3:2となります。

いかがだったでしょうか?

線分の比をベクトルを用いて求めてみました。

ベクトルの基本的な計算を使うだけで求めることができました。

 \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}はかなり大事な武器です。

これを考え続けるとベクトルの問題はきっと解けるかと思います。

 

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