数学の問題を解説してみた。

趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題を解説します。

場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.30【条件付き確率が日常生活と直結する例】

教科書の節末・章末問題 場合の数と確率
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今回は教科書の節末問題・章末問題の解説をしていきたいと思います。

節末問題や章末問題は定期テストの最後の方で出てきたり、入試問題でも似たような問題が出題されますので、ぜひ解けるようにしたい問題です。

この記事では古い教科書を使用していますが、似たような問題が入試や定期テストで出る可能性もあります。

ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回は条件付き確率が日常生活に関わる例を考えてみます。

問題の方は実際のコロナウイルス感染症の検査で行われるPCR検査の感度および特異度のデータを使用しています。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

コロナウイルス感染症におけるPCR検査の感度は 70%〜 80％、特異度は 99%以上であると言われている。ここで感度とはコロナウイルス感染症に感染している人を正しく陽性であると判定する割合、特異度というのはコロナウイルス感染症に感染していない人を正しく陰性であると判定する割合のことをいう。PCR検査の感度を 75%、特異度を 99%、罹患率を 1.2%であるとして、次の問いに答えよ。（罹患率のデータは2022年8月21日のデータを参照したもの）

(1)コロナウイルス感染症に感染している人がPCR検査を受けたとき、陰性であると判定する確率を求めよ。

(2)PCR検査が陰性であった場合、コロナウイルス感染症に感染していない確率を求めよ。

(3)PCR検査が陽性であった場合、コロナウイルス感染症に感染している確率を求めよ。

問題文から解く方針を考える

(1)コロナウイルス感染症に感染している人が正しく陽性であると判定する確率は \displaystyle \frac{3}{4}なので、陰性と判定する確率はその余事象になります。

後半は罹患率と感度、特異度から陰性が出る確率と陽性が出る確率を求めます。

陽性が出る確率は

\displaystyle \frac{12}{1000}\times \frac{3}{4}+\frac{988}{1000}\times \frac{1}{100}=\frac{1888}{100000}

陰性が出る確率は

\displaystyle \frac{12}{1000}\times \frac{1}{4}+\frac{988}{1000}\times \frac{99}{100}=\frac{98712}{100000}

となります。

また、陽性でかつコロナウイルス感染症に感染している確率は

\displaystyle \frac{12}{1000}\times \frac{3}{4}=\frac{900}{100000}

陰性でかつコロナウイルス感染症に感染していない確率は

\displaystyle \frac{988}{1000}\times \frac{99}{100}=\frac{97812}{100000}

ですので、これを基にして陽性だったときコロナウイルス感染症に感染している確率と陰性だったときコロナウイルス感染症に感染していない確率を求めます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

(1)コロナウイルス感染症に感染している人がPCR検査を受けたとき、陰性と判定が出る確率は

\displaystyle 1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}

(2),(3)

問題文から、感染しているかどうかと陽性か陰性かを表にまとめると、以下のようになる。

\begin{array}{|c|c|c|}\hline 感染&陽性(B_{1})&陰性(B_{2})\\ \hline している(A_{1})&\displaystyle \frac{3}{4}&\displaystyle \frac{1}{4}\\ \hline していない(A_{2})&\displaystyle \frac{1}{100}&\displaystyle \frac{99}{100}\\ \hline \end{array}

\displaystyle P(A_{1})=\frac{12}{1000},\ P(A_{2})=\frac{988}{1000}であることから

\displaystyle P(A_{1}\cap B_{1})=\frac{3}{4}\times \frac{12}{1000}=\frac{900}{100000}

\displaystyle P(A_{2}\cap B_{2})=\frac{99}{100}\times \frac{988}{100000}=\frac{97812}{100000}

\displaystyle P(B_{1})=\frac{3}{4}\times \frac{12}{1000}+\frac{1}{100}\times \frac{988}{1000}=\frac{1888}{100000}

\displaystyle P(B_{2})=\frac{1}{4}\times \frac{12}{1000}+\frac{99}{100}\times \frac{988}{1000}=\frac{98712}{100000}

したがって、PCR検査を受けたとき陰性であった場合、コロナウイルス感染症に感染していない確率は P(A_{2}|B_{2})であるので

\begin{eqnarray*} P(A_{2}|B_{2})&=&\frac{P(A_{2}\cap B_{2})}{P(B_{2})}\\ &=&\frac{\frac{97812}{100000}}{\frac{98712}{100000}}\\ &=&\frac{97812}{98712}\\ &=&\frac{2717}{2742}\end{eqnarray*}

PCR検査を受けたとき陽性であった場合、コロナウイルス感染症に感染している確率は P(A_{1}|B_{1})なので

\begin{eqnarray*} P(A_{1}|B_{1})&=&\frac{P(A_{1}\cap B_{1})}{P(B_{1})}\\ &=&\frac{\frac{900}{100000}}{\frac{1888}{100000}}\\ &=&\frac{900}{1888}\\ &=&\frac{225}{472}\end{eqnarray*}

まとめ

今回は条件付き確率を使ってコロナウイルス感染症のPCR検査の結果からコロナウイルス感染症に感染しているかどうかの確率を考察しました。

陰性であったとき、コロナウイルス感染症に感染していない確率は 99%を超えているので、この結果は信頼できそうです。

ですが、陽性であった場合、コロナウイルス感染症に感染している確率は 50％を下回っています。

PCR検査はコロナウイルス感染症に感染していないかどうかを判定するものであると捉えたほうが良いのかもしれません。

陽性が出た場合はコロナウイルスが検出されている証拠ですので感染していることが濃厚かと思います。

あくまでこれは計算の結果ですので参考程度にお考えください。

　

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場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.29【条件付き確率の問題】

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今回は教科書の節末問題・章末問題の解説をしていきたいと思います。

節末問題や章末問題は定期テストの最後の方で出てきたり、入試問題でも似たような問題が出題されますので、ぜひ解けるようにしたい問題です。

この記事では古い教科書を使用していますが、似たような問題が入試や定期テストで出る可能性もあります。

ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回は条件付き確率の基本的な問題を考えていきます。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

10本のくじの中に 3本あたりがある。このくじを A、 Bの順で引き、引いたくじはもとに戻さないものとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) Bがあたりくじを引く確率を求めよ。

(2) Bが当たりくじを引いたとき、 Aも当たりくじを引いていた条件付き確率を求めよ。

問題文から解く方針を考える

Aのくじの引き方と Bのくじの引き方を考えます。

Aがあたり、 Bも当たる確率は、 Aがあたりくじを引くので、 Bは 9本中 2本があたりのくじを引くことになります。

したがって、求める確率は

\begin{eqnarray*} \frac{3}{10}\times \frac{2}{9}&=&\frac{6}{90}\end{eqnarray*}

となります。

Aがはずれ、 Bが当たる確率は、 Aがあたりくじを引かないので、 Bは 9本中 3本があたりのくじを引くことになります。

したがって、求める確率は

\begin{eqnarray*} \frac{7}{10}\times \frac{3}{9}&=&\frac{21}{90}\end{eqnarray*}

となります。

この2つの事象は同時には起こりませんので、 Bがあたりくじを引く確率は

\displaystyle \frac{6}{90}+\frac{21}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}

ということになります。

後半の条件付き確率というのは、今回の場合ですと Bがあたりくじを引いているときに制限して考えた場合の確率ということになります。

求め方としては

\displaystyle \frac{(AもBもあたる確率)}{(Bがあたる確率)}

となります。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

(1) Aも Bもあたりを引く確率は

\displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}

Aはあたりを引かず、 Bがあたりを引く確率は

\displaystyle \frac{7}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{21}{90}

この 2つの事象は同時に起こらないので、 Bがあたりくじを引く確率は

\begin{eqnarray*} \frac{6}{90}+\frac{21}{90}&=&\frac{27}{90}\\ &=&\frac{3}{10}\end{eqnarray*}

(2) Bがあたりくじを引く確率は(1)より \displaystyle \frac{27}{90}

Aも Bもあたりくじを引く確率は(1)より \displaystyle \frac{6}{90}である。

したがって、 Bがあたりくじを引いたとき、 Aもあたりくじを引いている条件付き確率は

\begin{eqnarray*} \frac{\frac{6}{90}}{\frac{27}{90}}&=&\frac{6}{27}\\ &=&\frac{2}{9}\end{eqnarray*}

まとめ

今回は条件付き確率に関する基本的な問題を考えてみました。

条件付き確率というのは、全体に対してある部分だけに制限して考えた確率であると捉えたほうが分かりやすいかと思います。

条件付き確率ってどんなときに使うんだ？というところですが、それは次回の問題で扱っていこうと思います。

　

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場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.28【ゲームの参加の損得を考える】

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今回は教科書の節末問題・章末問題の解説をしていきたいと思います。

節末問題や章末問題は定期テストの最後の方で出てきたり、入試問題でも似たような問題が出題されますので、ぜひ解けるようにしたい問題です。

この記事では古い教科書を使用していますが、似たような問題が入試や定期テストで出る可能性もあります。

ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回は期待値を使ってゲームを参加することが得なのか、損なのかを考えてみます。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

以下のルールに基づいたゲームを行う。

・プレイヤーは 0から 9の 10種類の数字を使用して 3つの数字の並びを決める。ただし、同じ数字は使用してはならない。

・ディーラーはある方法で 3つの数字の抽選を行う。

・ディーラーが抽選した数字の並びとプレイヤーが決めた数字の並びがすべて一致した場合は 5万円、プレイヤーが決めた数字がすべてディーラーが抽選した数字を含んでいる場合は 1万円プレイヤーがもらえる。ただし、重複してお金はもらえない。

（注意）このルールに基づけば、プレーヤーが選んだ数字とディーラーが抽選した数字が 1つでも異なれば当選金は発生しないということになる。

（問題）このゲームの参加費を 2000円とするとき、プレイヤーは得であるか、それとも損であるか。

問題文から解く方針を考える

プレイヤーが得をするのか損をするのかは期待値と参加費を比較して考えます。

結果としては、期待値より参加費のほうが高ければプレイヤーが損な状態、参加費より期待値がのほうが高ければプレイヤーが得をしている状態になります。

ですので、期待値を求めて、その値が参加費より高いか低いかで判断します。

前回は期待値を求める際に全ての確率を求める必要があることを申し上げました。

ハズレの確率は求めておく必要がありますが、期待値の計算する場合はハズレがとる当選金額の値が 0ですので、その部分は計算を省略することができます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

プレーヤーが 3つの数字を選ぶ場合の数は _{10}P_{3}=720通りである。

プレイヤーが 5万円を得られる確率は、プレイヤーが選んだ数字の並びがすべて一致しなければならないので \displaystyle \frac{1}{720}

プレイヤーが 1万円を得られる確率は、ディーラーが抽選した 3つの数の組合せから並びがすべて一致した場合の数を除いて \displaystyle \frac{_{10}C_{3}-1}{720}=\frac{119}{720}

それ以外はハズレで、当選金額は 0円である。（確率は \displaystyle \frac{720-120}{720}=\frac{600}{720}=\frac{5}{6}）

よって、このゲームの当選金の期待金額を Eとすると

\begin{eqnarray*} E&=&50000\times \frac{1}{720}+10000\times \frac{119}{720}\\ &=&\frac{15500}{9}\\ &=&1722.22\cdots \end{eqnarray*}

当選期待金額が 2000円を下回っているので、プレイヤーはこのゲームに参加することは損である。

まとめ

今回は期待値を用いてゲームに参加来ることが得なのか損なのかを考えてみました。

今回のゲームは損であることが結果として出てきました。

日本には宝くじやパチンコ、スロット、競馬、競艇など、様々なギャンブルがあります。

この期待値を使って考えると、ギャンブルを行うことが得なのか損なのかが明るみに出ます。

計算すると本当に絶望的な数字になるので、ギャンブルを楽しみたい！という方は計算しないことをおすすめします。

　

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場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.27【期待値の問題】

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今回は教科書の節末問題・章末問題の解説をしていきたいと思います。

節末問題や章末問題は定期テストの最後の方で出てきたり、入試問題でも似たような問題が出題されますので、ぜひ解けるようにしたい問題です。

この記事では古い教科書を使用していますが、似たような問題が入試や定期テストで出る可能性もあります。

ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回はコイン投げと期待値に関する問題です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

コインを同時に 6枚投げるとき、表が出る枚数の期待値を求めよ。

問題文から解く方針を考える

期待値は次のように求めます。

ある試行によって得られる数値 Xを x_{1},\ x_{2},\ \cdots ,\ x_{n}、それぞれの値をとる確率を p_{1},\ p_{2},\ \cdots ,\ p_{n}とする。
Xの期待値 E(X)は次のようにして求められる。
E(X)=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{n}p_{n}

期待値の問題で厄介なところはその試行で起こりうる確率をすべて求めておく必要がありというところです。

そう考えると、解く時間が多めに必要であるということが考えられます。

試験で出てくると、時間に制約があるので本当に厄介です。

今回の問題の場合はコインを投げて表が 0枚のとき、 1枚のとき、・・・、 6枚のときと全部の場合の確率を求めておく必要があります。

大抵の問題は誘導がありますので、いくつかは求めてある状況にはありますが、残りのものを求めておかないといけませんので、「どうせやらなきゃいけないものじゃん」となるのがオチだったりします。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

コインを投げて表が 0枚である確率は \displaystyle \left( \frac{1}{2}\right) ^{6}=\frac{1}{64}

コインを投げて表が 1枚である確率は \displaystyle _{6}C_{1}\left( \frac{1}{2}\right)^{5}\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{6}{64}

コインを投げて表が 2枚である確率は \displaystyle _{6}C_{2}\left( \frac{1}{2}\right)^{4}\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}=\frac{15}{64}

コインを投げて表が 3枚である確率は \displaystyle _{6}C_{3}\left( \frac{1}{2}\right)^{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}=\frac{20}{64}

コインを投げて表が 4枚である確率は \displaystyle _{6}C_{4}\left( \frac{1}{2}\right)^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}=\frac{15}{64}

コインを投げて表が 5枚である確率は \displaystyle _{6}C_{5}\left( \frac{1}{2}\right)\left( \frac{1}{2}\right) ^{5}=\frac{6}{64}

コインを投げて表が 6枚である確率は \displaystyle \left( \frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1}{64}

したがって、コインを投げて表が出る枚数の期待値 Eは

\begin{eqnarray*} E&=&0\times \frac{1}{64}+1\times \frac{6}{64}+2\times \frac{15}{64}+3\times \frac{20}{64}+4\times \frac{15}{64}+5\times \frac{6}{64}+6\times \frac{1}{64}\\ &=&\frac{81}{32}\end{eqnarray*}

まとめ

今回は期待値を求める基礎的な部分を考えてみました。

計算自体は定義に基づいて行えば求めることができます。

期待値というものをきちんと理解しておくと、例えば大人の遊びをする前にその遊びを行うことが得なのか、損をするのかがわかるようになります。

次回はそれについての問題を考察してみようと思います。

　

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場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.26

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今回は条件付き確率に関する問題です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

白玉 7個、赤玉 3個が入っている袋から、玉を 1個取り出し、それを袋に戻さないで、続いてもう 1個取り出す。 2番目に取り出した玉が赤玉であるとき、最初に取り出した玉も赤玉である確率を求めよ。

問題文から解く方針を考える

今回求める確率は条件付き確率です。

今回の場合は 2回目が赤玉であった事象のうち、 1回目が赤玉であった確率を求めます。

ですので、まずは 2回目に赤玉を引く確率を求めます。

玉の引き方は非復元抽出ですので、引く順番を考慮して確率を求めていきます。

1回目が白玉、 2回目が赤玉である確率は

\displaystyle \frac{7}{10}\times \frac{3}{9}=\frac{21}{90}

1回目も 2回目も赤玉である確率は

\displaystyle \frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{6}{90}

これら 2つの事象は同時に起こりませんので、 2回目に赤玉を引く確率は

\displaystyle \frac{21}{90}+\frac{6}{90}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}

2回目に取り出した玉が赤玉であったとき、 1回目に取り出した玉が赤玉である確率は

\displaystyle \frac{(1回目も2回目も赤玉を引く確率)}{(2回目に赤玉を引く確率)}

で求めます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

2回目に赤玉を引く確率は

\displaystyle \frac{7}{10}\times \frac{3}{9}+\frac{3}{10}\times \frac{2}{9}=\frac{27}{90}=\frac{3}{10}

2回目に赤玉を引いたとき、1回目に取り出した玉も赤玉である確率は

\begin{eqnarray*} \frac{\frac{6}{90}}{\frac{27}{90}}&=&\frac{6}{27}\\ &=&\frac{2}{9}\end{eqnarray*}

まとめ

今回は条件付き確率に関する問題でした。

求め方がわかればそこまで難しくはないですが、わかるまでが難しいかもしれません。

入試の確率の問題は期待値か条件付き確率が最後に出題されるようです。

条件付き確率は求められるようにしておきたいですね。

　

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場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.25.5

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今回は前回の「まとめ」のところで出題した問題の解説です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

数直線上に点 Pがある。硬貨を 1枚投げたとき、表が出れば正の向きに 2、裏が出れば負の向きに 1だけ動かす。点 Pの最初の位置を原点とする。このとき、硬貨を 12回投げたあと、点 Pが原点にある確率を求めよ。

問題文から解く方針を考える

表が出た回数を x回とすると、裏が出る回数は 12-x回となります。

硬貨を 12回投げた後、点 Pが原点にあるので、次の方程式が成り立ちます。

2x-(12-x)=0

この方程式を解くと x=4となります。

12回のコイン投げで表が 4回、裏が 8回出る確率が求める確率となります。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

表が出た回数を xとする。

硬貨を 12回投げた後、点 Pが原点にあるので

2x-(12-x)=0

この方程式を解くと x=4

したがって、求める確率は 12回のコイン投げで表が 4回、裏が 8回出る確率である。

その確率は

\begin{eqnarray*} _{12}C_{4}\left( \frac{1}{2}\right) ^{4}\left( \frac{1}{2}\right) ^{8}&=&495\times \frac{1}{4096}\\ &=&\frac{495}{4096}\end{eqnarray*}

まとめ

今回はコイン投げと反復試行の確率の問題でした。

そういえば、同じ問題が出ていましたね。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

定期テストでも出そうなので、このタイプの問題が解けておくと良いかもしれません。

　

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場合の数と確率の節末問題・章末問題vol.25

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ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回はコイン投げと反復試行に関する確率の問題です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

A,\ Bの 2人がそれぞれ、 Aは 12枚の硬貨を、 Bは 6枚の硬貨を持っている。 1個のさいころを投げて、奇数の目が出ると Aが Bに 2枚の硬貨を渡し、偶数の目が出ると、 Bが Aに 1枚の硬貨を渡すものとする。さいころを 6回続けて投げたとき、 A,\ Bともに、同じ枚数の硬貨を持っている確率を求めよ。

問題文から解く方針を考える

まず、さいころを投げて奇数が出る確率と偶数が出る確率を求めます。

奇数は 6つの目のうち 1,\ 3,\ 5の3つ、偶数は 2,\ 4,\ 6の3つなので、奇数が出る確率は \displaystyle \frac{3}{6}=\frac{1}{2}、偶数が出る確率は \displaystyle \frac{1}{2}です。

次に、奇数と偶数が何回ずつ出ればいいかを考えます。

x回奇数の目が出るとすると、 Aがさいころを投げたあとに所持をしている硬貨の枚数は 12-2x+(6-x)枚、 Bがさいころを投げたあとに所持をしている硬貨の枚数は 6+2x-(6-x)枚です。

この枚数が等しくなるので

12-2x+(6-x)=6+2x-(6-x)

が成り立ちます。

この方程式を解けば、確率を求めることができます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

さいころを 6回投げて奇数が出た回数を xとする。

Aと Bが同じ枚数の硬貨を持っているので

12-2x+(6-x)=6+2x-(6-x)

が成り立つ。

この方程式を解くと、 x=3であるので、 6回のさいころ投げで奇数が 3回、偶数が 3回出れば良い。

したがって、求める確率は

\begin{eqnarray*} _{6}C_{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}&=&20\times \frac{1}{64}\\ &=&\frac{5}{16}\end{eqnarray*}

まとめ

今回はさいころ投げと反復試行に関する確率の問題でした。

よく出るのはコイン投げと座標に関する問題でしょうか。

硬貨を 1回投げるとき、表が出れば点 Pを正の向きに 2、裏が出れば負の向きに 1だけ動かす。硬貨を 12回投げたあと、点 Pが原点にある確率を求めよ。

みたいな問題がよく見られます。

　

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