マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2006年中高共通第1問】

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養の数学の問題です。

今回は中高共通問題第1問です。

今回の問題の原文

 \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}を満たす正の整数 x,y,zの組 (x,y,z)をすべて求めなさい。ただし x\leqq y\leqq zとする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件式から整数の組を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 x,y,zの大小関係より \displaystyle  \frac{1}{z}\leqq \frac{1}{y}\leqq \frac{1}{x}となります。これを条件式に当てはめると

 \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leqq \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}

となります。したがって、 x\leqq 3となります。 xは正の整数なので x=1,2,3です。 xの値が3通り出ていますので、ここから場合分けをして考えていきます。

 x=1のとき、 \displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0となります。これを満たす正の性質の組 (x,y,z)は存在しません。

 x=2のとき、 \displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}となります。先ほどと同様に、 y,zの大小関係から y\leqq 4が導かれますので、 y=2,3,4となります。 y=2のとき \displaystyle \frac{1}{z}=0となりますが、これを満たす正の整数 zは存在しません。 y=3のとき \displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{6}となりますので、 (x,y,z)=(2,3,6)が求めるものの1つになります。 y=4のとき \displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{4}となりますので、 (x,y,z)=(2,4,4)も求めるものの1つです。

 x=3のとき \displaystyle \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{3}となります。 y,zの大小関係から y\leqq 3となりますので、 y=3となります。このとき、 \displaystyle \frac{1}{z}=\frac{1}{3}ですので、 (x,y,z)=(3,3,3)は求めるものの1つです。

以上から、求める正の整数の組 (x,y,z) (2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)の3組となります。

いかがだったでしょうか?

この問題は大学入試の頻出問題集にも載っていた問題です。

大学入試で頻出の問題も教員採用試験で出題されるのでしょうか。

大学入試と同じような対策が教員採用試験で必要ですが、逆に考えれば教員採用試験の問題を解くことは大学入試の対策になるのではないかと思います。

指導法の問題や学習指導要領に関する問題を除けば大学入試で出題されてもおかしくない問題ばかりですので、機会があればチャレンジしてみるのも良いかもしれません。

 

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徳島県教員採用試験の問題【2005年高等学校第2問】

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今回は高等学校第2問です。

今回の問題の原文

 xy平面上でで y=\sin{x}\ (0\leqq x\leqq \pi) y=1 y軸とで囲まれた図形を、 y軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

回転体の体積を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

求める体積は、図の青い色がついた部分を y軸周りに1回転させてできる回転体の体積です。

この体積を Vとすると、 \displaystyle V=\pi \int_{0}^{1}x^{2}dyで求められます。ここで、 y=\sin{x}であることにより dy=\cos{x}dxですので、置換積分により

 V=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x^{2}\cos{x}dx

となります。ここからの計算は部分積分を2回用いることにより \displaystyle V=\frac{\pi ^{3}}{4}-2\pi となります。

いかがだったでしょうか?

今回は数学Ⅲの積分の問題でした。

扱う関数が三角関数や指数関数、対数関数などに拡がりますが、やることは数学Ⅱの微分積分と同じです。

数学Ⅲの内容は難しい部分が多いかもしれませんが、導関数の公式やその他の計算のやり方を覚えていけば、解ける問題は多くなってくるかと思います。

 

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徳島県教員採用試験の問題【2005年高等学校第1問】

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今回は高等学校第1問です。

今回の問題の原文

自然数 n n個連続して現れる数列

 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,\cdots

がある。この数列 \{ a_{n}\}について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)この数列 \{ a_{n}\}の第300項を求めなさい。

(2)この数列 \{ a_{n}\}の第300項までの和を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

群数列の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\leqq 300\leqq \frac{1}{2}n(n+1)を満たす自然数 nを求めると n=24になります。このとき、 \displaystyle \frac{1}{2}n(n+1)=300となりますので、 a_{300} 24である項の最後の項であることがわかります。したがって、数列 \{ a_{n}\}の第300項までの和は

 \displaystyle \sum_{k=1}^{300}a_{k}=\sum_{k=1}^{24}k^{2}

 \displaystyle =\frac{1}{6}\times 24\times 25\times 49=4900

となります。

いかがだったでしょうか?

群数列の問題は群分けをして、その群ごとでの規則性と元の数列の規則性を見ていきます。

群の最後の項に注目すると規則性が見えてくるかと思います。

特に群の最後の項が元の数列の何番目の項なのかを注目してみると良いです。

 

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徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第6問】

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今回は中高共通問題第6問です。

今回の問題の原文

袋の中に1と書かれた球が1個、2と書かれた球が2個、… nと書かれた球が n個入っているとする。この袋の中から無作為に球を1個取り出すとき、その球に書かれた数の期待値を求めなさい。ただし、球の大きさは全て同じとする。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

球に書かれた数の期待値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

現在は期待値は数学Bで扱われている内容ですが、大学入試では出題範囲外となっています。ですが、令和7年度入試からは、期待値の項目が数学Aの範囲になりますので出題される可能性が高いです。今回の問題は教員採用試験の問題ですので大学の教養レベルまでは出題されます。

期待値の求め方は、 k\ (1,2,3,\cdots )という値をとる確率を p(k)とすると \displaystyle \sum_{k=1}^{n}kp(k)で求めます。

今回の場合は、袋の中に球が合計で \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)個入っていますので、 kと書かれている球を取り出す確率は \displaystyle \frac{k}{\frac{1}{2}n(n+1)}となります。したがって、求める期待値は

 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k\frac{k}{\frac{1}{2}n(n+1)}=\frac{1}{\frac{1}{2}n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}k^{2}

 \displaystyle =\frac{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{\frac{1}{2}n(n+1)}

 \displaystyle =\frac{2n+1}{3}

となります。

いかがだったでしょうか?

期待値の問題は、過去のセンター試験では頻出問題でした。

今回の問題の場合は和の公式で楽に計算できましたが、全ての場合の確率を求めておく必要があるので大変です。

最近の問題は条件付き確率が出題されていますが、そちらの方がまだマシですね。

 

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徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第5問】

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今回は中高共通問題の第5問です。

今回の問題の原文

関数 y=x^{\log_{10}{x}-1}について、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1) X=\log_{10}{x}とおき、 \log_{10}{y} Xの関数で表しなさい。

(2) 1\leqq x\leqq 100のとき、 y=x^{\log_{10}{x}-1}の最大値、最小値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

指数関数・対数関数の最大・最小問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 y=x^{\log_{10}{x}}の両辺の常用対数を取ると

 \log_{10}{y}=\log_{10}{x^{\log_{10}{x}-1}}

となります。対数関数の性質を用いて計算をしていくと

 \log_{10}{y}=\left( \log_{10}{x}-1\right) \log_{10}{x}

 =\{ \log_{10}{x}\} ^{2}-\log_{10}{x}

 \displayatyle =X^{2}-X=\left( X-\frac{1}{2}\right) ^{2}-\frac{1}{4} (0/leqq X\leqq 2)

となります。したがって、 \log_{10}{y} \displyatyle  X=\frac{1}{2}のとき最小値 \displaystyle -\frac{1}{4} X=2のとき最大値 2をとります。置き換えたものを全て元に戻すと

 y=x^{\log_{10}{x}-1} x=\sqrt{10}のとき最小値 \displaystyle \frac{1}{\sqrt[4]{10}} x=100のとき最大値 100をとることがわかります。

いかがだったでしょうか?

対数関数の基本性質をおさえておけば難なく解けるかと思います。

指数に対数関数が含まれているので難しい部分ではありますが、対数をとることが誘導されていますので、誘導に従って解いていけば大丈夫です。

 

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徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第3問】

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今回は多項定理に関する問題です。

今回の問題の原文

 \displaystyle \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) ^{6}の展開式において x^{3}の係数を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

多項定理を使って係数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \displaystyle \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) ^{6}

 \displaystyle  = \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right)

 \displaystyle \hspace{2em}\times \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right) \left( x^{2}+1+\frac{1}{x}\right)

と考えて、同じ文字を含む順列と同じように考えます。

例えば、 (a+b+c)^{4}の展開式における a^{2}bcの係数は、 aを2個、 bを1個、 cを1個の合計4文字を1列に並べる総数と等しくなります。

 x^{3}となるには

(1) x^{2}を2回、 1を3回、 \displaystyle \frac{1}{x}を1回

(2) x^{2}を3回、 \displaystyle \frac{1}{x}を3回

かければ良いです。(1)の場合は \frac{6!}{2!3!}=60、(2)の場合は \frac{6!}{3!3!}=20ですので、これらの和が展開式における x^{3}の係数になります。

 60+20=80

いかがだったでしょうか?

多項定理や二項定理は同じ文字を含む順列と同じように考えるとわかりやすいのではないかと思います。

二項定理は公式を覚えさせられるかもしれませんが、係数を求めるだけなら計算するだけで良いです。

油断していると出てくるかもしれませんので二項定理や多項定理もわすれないようにしておきたいですね。

 

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徳島県教員採用試験の問題【2005年中高共通第2問】

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今回は中高共通の第2問です。

今回の問題の原文

一辺の長さが1である正四面体 OABCがあり、半径 rの球が内接している。このとき、(1)・(2)の問いに答えなさい。

(1)正四面体 OABCの体積を求めなさい。

(2)球の半径 rを求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

四面体の体積を用いて内接する球の半径を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \triangle ABCの面積は

 \displaystyle \frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin{60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{4}

です。また、正四面体 OABCの高さは、頂点 Oから \triangle ABCに下ろした垂線を OHとすると、点 H \triangle ABCが正三角形であることから重心にきます。したがって、 \displaystyle AH=\frac{\sqrt{3}}{3}となります。よって、三平方の定理より \displaystyle OH=\frac{\sqrt{6}}{3}となります。

これで正四面体 OABCの体積を求める準備ができましたので、それを求めていくと

 \displaystyle \frac{1}{3}\times \triangle ABC \times OH=\frac{\sqrt{2}}{12}

となります。この体積を用いて、この正四面体に内接する球の半径を求めていきます。考え方としては、正四面体4枚の面を底面、高さが rの四面体の体積の合計が正四面体 OABCの体積と等しいので

 \displaystyle \frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 4\times r=\frac{\sqrt{2}}{12}

が成り立ちます。この方程式を解くと \displaystyle r=\frac{\sqrt{6}}{12}となります。

いかがだったでしょうか?

正四面体の問題は大学入試においても頻出問題ですので、是非ともおさえておきたい問題です。

体積を問われることが多いので、底面の面積、高さが求められるようにしておくことが大切です。

このタイプの問題はベクトルを用いずに解ける場合がありますが、それでも図形の性質・特徴を覚えておく必要があります。

 

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