数学の問題を解説してみた。

趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題を解説します。

図形と計量の節末問題・章末問題vol.19

教科書の節末・章末問題 図形と計量・図形の性質
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今回は教科書の節末問題・章末問題の解説をしていきたいと思います。

節末問題や章末問題は定期テストの最後の方で出てきたり、入試問題でも似たような問題が出題されますので、ぜひ解けるようにしたい問題です。

この記事では古い教科書を使用していますが、似たような問題が入試や定期テストで出る可能性もあります。

ですので、テスト前の復習でご活用ください！

　

今回は図形に関する等式の証明です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

下の図のように、3つの半直線とこれらに交わる直線があるとき、 OA=a,\ OB=b,\ OP=p,\ \angle AOP=\alpha ,\ \angle BOP=\beta とする。このとき、次の等式が成り立つことを、面積を考えて証明せよ。

\displaystyle \frac{\sin{\alpha }}{b}+\frac{\sin{\beta }}{a}=\frac{\sin{(\alpha +\beta )}}{p}

問題文から解く方針を考える

問題文に「面積を考えて」とあるので、これがヒントになります。

\triangle OABの面積は \displaystyle \frac{1}{2}\times a\times b\times \sin{(\alpha +\beta )}

\triangle OAPの面積は \displaystyle \frac{1}{2}\times a\times p\times \sin{\alpha }

\triangle OBPの面積は \displaystyle \frac{1}{2}\times b\times p\times \sin{\beta }

です。

\triangle OAB=\triangle OAP+\triangle OBP

であることを用いて等式を証明します。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

\triangle OABの面積は \displaystyle \frac{1}{2}\times a\times b\times \sin{(\alpha +\beta )}

\triangle OAPの面積は \displaystyle \frac{1}{2}\times a\times p\times \sin{\alpha }

\triangle OBPの面積は \displaystyle \frac{1}{2}\times b\times p\times \sin{\beta }

\triangle OAB=\triangle OAP+\triangle OBPより

\frac{1}{2}ab\sin{(\alpha +\beta )}=\frac{1}{2}ap\sin{\alpha }+\frac{1}{2}bp\sin{\beta }

a\not= 0,\ b\not= 0,\ p\not= 0であるので、この両辺を \displaystyle \frac{1}{2}abpで割ると

\displaystyle \frac{\sin{(\alpha +\beta )}}{p}=\frac{\sin{\alpha }}{b}+\frac{\sin{\beta }}{a}

まとめ

今回は図形に関する等式の証明問題でした。

問題文に「面積を考えて」とありますので、3つの三角形の面積を考えると与えられている等式と近いものが出てきます。

あとは両辺に何かをかけるか割るかをすれば等式が出てきそうです。

ヒントが無いと難易度が高くなりそうですね。

　

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図形と計量の節末問題・章末問題vol.18

教科書の節末・章末問題 図形と計量・図形の性質
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今回は空間図形に関する問題です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

三角錐 ABCDにおいて、辺 CDは底面 ABCに垂直である。 AB=3で、辺 AB上の 2点 E,\ Fは AE=EF=FB=1を満たし、
\angle DAC=30^{\circ },\ \angle DEC=45^{\circ },\ \angle DBC=60^{\circ }である。

(1)辺 CDの長さを求めよ。

(2) \theta =\angle DFCとおくとき、 \cos{\theta }の値を求めよ。

（参考図）

問題文から解く方針を考える

(1)手がかりが ABの長さと \angle DAC,\ \angle DEC,\ \angle DBCの大きさしかありませんが、これらを手がかりに CDの長さを求めます。

CD=xとおくと、三角定規の長さの比を考えると

\displaystyle AC=\sqrt{3}x,\ CE=x,\ BC=\frac{1}{\sqrt{3}}x

となります。

この長さを使って、 \cos{\angle ABC}を2通りで表すと xの値を求めることができます。

(2) CF長さを求められたら \displaystyle \tan{\theta }=\frac{CD}{CF}となりますので、この値を基に三角比の相互関係を使って \cos{\theta }の値を求めます。

　

方針はこのような感じですが、今回の問題は計算が複雑です。

計算ミスをしないためにも少し工夫が必要です。

「分母を有理化しないといけない」というのはウソです！

それは答えるときだけで良いので、計算段階はわざと有理化せずにそのまま置いておくのも一つの工夫です。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

(1) CD=xとおくと \displaystyle AC=\sqrt{3}x,\ CE=x,\ BC=\frac{1}{\sqrt{3}}x

\triangle ABCに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} \cos{\angle ABC}&=&\frac{BC^{2}+AB^{2}-AC^{2}}{2BC\cdot AB}\\ &=&\frac{9+\frac{1}{3}x^{2}-3x^{2}}{2\cdot 3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\\ &=&\frac{9-\frac{8}{3}x^{2}}{2\sqrt{3}x}\ \ \cdots ①\end{eqnarray*}

\triangle BCEに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} \cos{\angle ABC}&=&\frac{BC^{2}+BE^{2}-CE^{2}}{2BC\cdot BE}\\ &=&\frac{\frac{1}{3}x^{2}+4-x^{2}}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}x\cdot 2}\\ &=&\frac{6-x^{2}}{2\sqrt{3}x}\ \ \cdots ②\end{eqnarray*}

①、②より

\displaystyle 9-\frac{8}{3}x^{2}=6-x^{2}

この方程式を解くと、 x\gt 0より \displaystyle x=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}

(2)(1)より \displaystyle \cos{\angle ABC}=\frac{7}{2\sqrt{15}}

\triangle BCFに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} CF^{2}&=&BC^{2}+BF^{2}-2\cdot BC\cdot CF\cdot \cos{\angle ABC}\\ &=&\frac{1}{3}x^{2}+1-2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}x\cdot 1\cdot \frac{7}{2\sqrt{15}}\\ &=&\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{5}+1-2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot 1\cdot \frac{7}{2\sqrt{15}}\\ &=&\frac{3}{5}+1-\frac{7}{5}\\ &=&\frac{1}{5}\end{eqnarray*}

CF\gt 0より \displaystyle CF=\frac{1}{\sqrt{5}}

よって \displaystyle \tan{\theta }=\frac{CD}{CF}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=3

三角比の相互関係 \displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}より \displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{\theta }}=10

したがって、 \displaystyle \cos^{2}{\theta }=\frac{1}{10}

0^{\circ }\lt \theta \lt 90^{\circ }より \cos{\theta }\gt 0であるので \displaystyle \cos{\theta }=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}

まとめ

今回は空間図形から線分の長さと \cosの値を求める問題でした。

計算が少し大変な問題でした。

計算段階で分母に無理数が出た場合はそのままにしておいて計算していくと、うまく約分されて消える場合があるので有効な手段です。

分母の有理化をするとかえって計算がしんどくなる場合が多々あります。

また、空間図形の問題は必要な部分の平面図形を取り出して考えていくと解きやすいです。

慣れるまでは訓練が必要かもしれませんが・・・。

　

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ジャグラーを研究してみたvol.14【RBに偏る台は本当に期待していいの？】

パチンコ・パチスロ
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今回は8月1日に実践した台の設定を考察してみようと思います！

目次

・8月1日の実践データ
・ジャグ連率とRB確率を考えてみる
・今回の設定はどのくらい？
・まとめ

8月1日の実践データ

まずは8月1日の実践データからです。

実戦機種はアイムジャグラーです。

ボーナス履歴とボーナス合算

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline ボーナス間&総回転数&種類&BB回数&RB回数&BB&RB&合算\\ \hline 49&49&RB&0&1&-&1/49&1/49\\ \hline 206&255&RB&0&2&-&1/127&1/127\\ \hline 91&346&RB&0&3&-&1/115&1/115\\ \hline 167&513&BB&1&3&1/513&1/171&1/128\\ \hline 135&648&BB&2&3&1/324&1/216&1/129\\ \hline 9&657&BB&3&3&1/219&1/219&1/109\\ \hline 137&794&RB&3&4&1/264&1/198&1/113\\ \hline 11&805&RB&3&5&1/268&1/161&1/100\\ \hline 22&827&BB&4&5&1/206&1/165&1/91\\ \hline 462&1289&BB&5&5&1/257&1/257&1/128\\ \hline 56&1345&RB&5&6&1/269&1/224&1/122\\ \hline 300&1645&BB&6&6&1/274&1/274&1/137\\ \hline 267&1912&RB&6&7&1/318&1/273&1/147\\ \hline 5&1917&RB&6&8&1/318&1/239&1/136\\ \hline 101&2018&BB&7&8&1/288&1/252&1/134\\ \hline 44&2062&RB&7&9&1/294&1/229&1/128\\ \hline 67&2129&RB&7&10&1/304&1/212&1/125\\ \hline 241&2370&RB&7&11&1/338&1/215&1/131\\ \hline 213&2583&RB&7&12&1/369&1/215&1/135\\ \hline 102&2685&BB&8&12&1/335&1/223&1/134\\ \hline 408&3093&BB&9&12&1/343&1/257&1/147\\ \hline 230&3323&BB&10&12&1/332&1/276&1/151\\ \hline 347&3670&RB&10&13&1/367&1/282&1/159\\ \hline 194&3864&RB&10&14&1/386&1/276&1/161\\ \hline 29&3893&RB&10&15&1/389&1/259&1/155\\ \hline 91&3984&BB&11&15&1/362&1/265&1/153\\ \hline 106&4090&BB&12&15&1/340&1/272&1/151\\ \hline 218&4308&BB&13&15&1/331&1/287&1/153\\ \hline 289&4597&BB&14&15&1/328&1/306&1/158\\ \hline 436&5033&終了&14&15&1/359&1/335&1/173\\ \hline \end{array}

1000回転ごとのボーナス回数

\begin{array}{|c|c|c|}\hline 回転数&回数&平均回数（1000回転ごと）\\ \hline 0〜1000&9&9\\ \hline 1000〜2000&5&7\\ \hline 2000〜3000&6&6.6\\ \hline 3000〜4000&6&6.7\\ \hline 4000〜5000&3&5.8\\ \hline \end{array}

ジャグ連率とハマり率

\begin{array}{|c|c|c|}\hline ボーナス間&回数&比率\\ \hline 100以内&11&37.93\\ \hline 100以上&18&62.06\\ \hline 200以上&11&37.93\\ \hline 300以上&4&13.79\\ \hline 400以上&2&6.89\\ \hline \end{array}

ジャグ連率とRB確率を考えてみる

以下は設定ごとのジャグ連率（計算値）とボーナス確率（メーカー公表値）です。

各設定のジャグ連率

\begin{array}{|c|c|c|}\hline 設定&ボーナス合算(公表値)&ジャグ連率\\ \hline 1&1/168.5&0.4486\\ \hline 2&1/161&0.4637\\ \hline 3&1/148.6&0.4909\\ \hline 4&1/142.2&0.5062\\ \hline 5&1/128.5&0.5422\\ \hline 6&1/127.5&0.5450\\ \hline \end{array}

ボーナス確率

\begin{array}{|c|c|c|}\hline 設定&BB確率&RB確率\\ \hline 1&1/273.1&1/439.8\\ \hline 2&1/269.7&1/399.6\\ \hline 3&1/269.7&1/331.0\\ \hline 4&1/259&1/315.1\\ \hline 5&1/259.0&1/255.0\\ \hline 6&1/255.0&1/255.0\\ \hline \end{array}

今回の設定はどのくらい？

ジャグ連率を見ると 37.93%と低設定域より悪い数値です。

RB確率を見てみると設定3あたりに近づいているようにも見えます。

この2点だけを考えれば設定3と判断しても良いかもしれませんが、BBが非常に下振れをしています。

BBは出玉率に直結する非常に大事な要素ですので、ここにも注意が必要です。

大数の法則によれば、確率は収束するのですが期待値が収束するというのが主張です。

ジャグラーで言う期待値とは出玉率と考えても良いので、そう考えると設定2と考えるのが妥当かと思います。

まとめ

ということで、2回にわたってRBに偏る台は期待して良いのか？ということを考えました。

前回はRB確率が非常に良かったですが、今回は低設定域の値を示していました。

はじめの方は良かったんですがね・・・。

今までのデータを見ての通り、はじめの方の確率のブレ方が大きい一方、回数を重ねるにつれてブレ方がどんどん小さくなっていきます。

回せば回すほどあるところにボーナス合算の数値が落ち着いている感じですね。

ボーナス合算だけでなく、BBとRBの比率、出玉率も気にして考えていったほうが良さそうです。

　

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図形と計量の節末問題・章末問題vol.17

教科書の節末・章末問題 図形と計量・図形の性質
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今回は円に内接する四角形に関する問題です。

目次

・今回の問題
・問題文から解く方針を考える
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

円に内接する四角形 ABCDにおいて、 AB=5,\ BC=4,\ CD=4,\ DA=2であるとき、四角形 ABCDの面積を求めよ。

問題文から解く方針を考える

まずは図を描いて方針を立てていきます。

参考図は以下のようになります。

円に内接する四角形の性質は向かい合う角の大きさの和が 180^{\circ }であることです。

この性質を使えば、正弦定理を用いてどこかの角の余弦の値を求めることができます。

解答では \cos{\angle B}の値を求めています。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

四角形 ABCDは円に内接するので

\angle D=180^{\circ }-\angle B

よって \cos{\angle D}=-\cos{\angle B}

\triangle ABCに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot \cos{\angle B}\\ &=&5^{2}+4^{2}-2\cdot 5\cdot 4\cos{\angle B}\\ &=&41-40\cos{\angle B}\ \ \ \cdots ①\end{eqnarray*}

\triangle ACD二余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} AC^{2}&=&CD^{2}+DA^{2}-2\cdot CD\cdot DA\cdot \cos{\angle D}\\ &=&4^{2}+2^{2}-2\cdot 4\cdot 2(-\cos{\angle B})\\ &=&20+16\cos{\angle B}\ \ \ \cdots ②\end{eqnarray*}

①、②より

41-40\cos{\angle B}=20+16\cos{\angle B}

よって \displaystyle \cos{\angle B}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}

三角比の相互関係より \displaystyle \sin{\angle B}=\frac{\sqrt{55}}{8}

したがって、四角形 ABCDの面積は

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{55}}{8}+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{55}}{8}&=&\frac{7\sqrt{55}}{4}\end{eqnarray*}

まとめ

今回は円に内接する四角形に関する問題でした。

この問題は入試問題でよく見られるので解けておいたほうが良いです。

円に内接する四角形の性質さえ理解できればそんなに難しい問題ではないです。

　

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図形と計量の節末問題・章末問題vol.16

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今回は三角形の面積を外接円の半径で表せないか？を考えてみます。

目次

・今回の問題
・解答までの必要な知識
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

\triangle ABCの面積を S、外接円の半径を Rとするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

(1) S=2R^{2}\sin{A}\sin{B}\sin{C}

(2) \displaystyle S=\frac{abc}{4R}

解答までの必要な知識

問題を解くうえでの必要な知識の洗い出しは問題文を読み取って行います。

問題文から解く方針を考える

今回の問題は正弦定理を使います。

正弦定理は以下のようなものです。

\triangle ABCにおいて、 AB=c,\ BC=a,\ CA=bとし、 \triangle ABCの外接円の半径を Rとする。
\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R

この定理を使って式変形をしていきます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

正弦定理より

\displaystyle \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R・・・①

(1) \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\sin{C}である。

正弦定理より a=2R\sin{A},\ b=2R\sin{B}なので、これらの式を①の式に代入すると

S=2R^{2}\sin{A}\sin{B}\sin{C}

(2)正弦定理より \displaystyle \sin{C}=\frac{c}{2R}

これを①の式に代入すると

\displaystyle S=\frac{abc}{4R}

まとめ

三角形の面積を三角形の外接円の半径を用いて表す問題でした。

2問目はどこかの大学で出題がありました。

正弦定理を理解しているかどうかを調べるには良い問題かと思います。

実用性があるかというと…。なさそうですね。

外接円の半径を求めるくらいなら三角形の辺を使って求めたほうが早そうですね。

　

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図形と計量の節末問題・章末問題vol.15

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今回は四角形の対角線から面積を求められないか？を考えてみます。

目次

・今回の問題
・解答までの必要な知識
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

下の図のような四角形 ABCDにおいて、2つの対角線の長さが a,\ bで、そのなす角が \theta であるとき、四角形 ABCDの面積は \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin{\theta }であることを示せ。

解答までの必要な知識

問題を解くうえでの必要な知識の洗い出しは問題文を読み取って行います。

問題文から解く方針を考える

四角形の形が正方形でも長方形でもなければ平行四辺形、ひし形、台形でもありません。

そういうときは三角形に分割して考えますが、対角線で4つの三角形に分割されています。

四角形の面積がこの4つの三角形の面積の和であると考えて求めていくと問題文の式が導かれます。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

対角線 ACと BDとの交点を Oとする。

四角形 ABCDの面積を Sとすると

\begin{eqnarray*} S&=&\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCD+\triangle ODA\\ &=&\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin{(180^{\circ }-\theta )}+\frac{1}{2}OB\cdot OC\sin{\theta }\\ &&+\frac{1}{2}OC\cdot OD\sin{(180^{\circ }-\theta )}+\frac{1}{2}OD\cdot OA\sin{\theta }\\ &=&\frac{1}{2}(OA+OC)OB\sin{\theta }+\frac{1}{2}(OA+OC)OD\sin{\theta }\\ &=&\frac{1}{2}AC(OB+OD)\sin{\theta }\\ &=&\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin{\theta }\\ &=&\frac{1}{2}ab\sin{\theta }\end{eqnarray*}

まとめ

今回は四角形の面積を対角線の長さで表すことを考えてみました。

対角線の長さと2つの対角線のなす角が分かれば四角形の面積が求められるのは意外ですね。

でも、実際に使うときってあるんですかね？

使っている方がいらっしゃればコメント下さい！

　

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入試問題の解き方を考えてみたvol.25【令和8年度長野県教員採用試験中学数学問3（2）】

入試問題の解き方 教員採用試験の過去問 図形と計量・図形の性質
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今回は入試問題の解説をしていきたいと思います。

入試問題は様々な単元が複合して出題されることがほとんどですので、ある程度の訓練が必要になるかと思います。

過去問を解く時期まではいろいろな問題と出会って入試問題がどんな感じなのか体感してみてください！

　

今回は令和8年度長野県教員採用試験の中学数学で出題された図形の問題を見ていこうと思います。

目次

・今回の問題
・解答までの必要な知識
・解答を作ろう！
・まとめ

今回の問題

1辺の長さが3の正三角形 ABCがある。辺 ABを3等分する点のうち Aに近い方を Pとし、辺 ACを3等分する点のうち Cに近い方の点を Qとし、 \angle QBP=\theta とする。

(1) \cos{\theta }の値を求めなさい。

(2) \triangle QBCの面積を求めなさい。

（長野県教員採用試験　令和8年度中学数学問３(2)）

解答までの必要な知識

問題を解くうえでの必要な知識の洗い出しは問題文を読み取って行います。

次のステップで必要な知識を見ていきます。

1.問題文から必要そうな定理や公式があるか？

\cos{\theta }の値を求めなければなりませんので、余弦定理が必要になります。

余弦定理は次のような定理でした。

\triangle ABCにおいて、 AB=c,\ BC=a,\ CA=bとする。このとき、次が成り立つ。
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos{A}
\displaystyle \cos{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

この定理を使って、まずは \triangle BPQの3辺の長さを求めます。

その後、 \cos{\theta }の値を求めます。

2.問題を解く方針を考えてみる

解く手順は次のようになります。

①余弦定理を用いて \triangle BPQの3辺の長さを求める。

② \triangle BPQに余弦定理を用いて \cos{\theta }の値を求める。

③ \triangle QBCの面積を求める。

辺 BCと辺 CQの長さおよび \angle BCQの大きさがわかっていますので、先に \triangle QBCの面積を求めても良さそうです。

解答では上で示した手順で記述します。

解答を作ろう！

ここまでの考え方に基づいて解答を作ってみます。

以下はこの問題の解答例です。

細かい言い回しなどは自分の言葉で書いても問題ありませんが、不自然の日本語にならないように気をつけると良いです。

解答

参考図を以下に示す。

(1) \triangle APQに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} PQ^{2}&=&1^{2}+2^{2}-2\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{1}{2}\\ &=&1+4-2\\ &=&3\end{eqnarray*}

よって PQ\gt 0より PQ=\sqrt{3}

\triangle QBCに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} BQ^{2}&=&3^{2}+1^{2}-2\cdot 3\cdot 1\cdot \frac{1}{2}\\ &=&9+1-3\\ &=&7\end{eqnarray*}

BQ\gt 0より BQ=\sqrt{7}

\triangle BPQに余弦定理を用いると

\begin{eqnarray*} \cos{\theta }&=&\frac{BP^{2}+BQ^{2}-PQ^{2}}{2\cdot BP\cdot BQ}\\ &=&\frac{4+7-3}{2\cdot 2\cdot \sqrt{7}}\\ &=&\frac{8}{4\sqrt{7}}\\ &=&\frac{2}{\sqrt{7}}\\ &=&\frac{2\sqrt{7}}{7}\end{eqnarray*}

(2) BC=3,\ QC=1,\ \angle QCB=60^{\circ }であるので、 \triangle QBCの面積は

\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times BC\times CQ\times \sin{60^{\circ }}&=&\frac{1}{2}\times 3\times 1\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=&\frac{3\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray*}

まとめ

今回は令和8年度長野県教員採用試験で出題された図形の問題を見てみました。

難易度はそこまで難しくはないですが、絶対に解けてほしい問題だと思います。

余弦定理の基礎的な問題となっていますので、教える立場になるのであればこのくらいはできておかないとマズイです。

中学数学の採用の問題ですので、学生から質問が来ても大丈夫なように \triangle QBCの面積を三角比を使わずに求める方法も用意しておいたほうが良さそうですね。

　

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