マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

長岡崇徳大学の過去問【2023年一般入試】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
問題の難易度について
第1問
第2問
第3問
第4問
第5問
第6問
第7問
第8問
第9問
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

今回は長岡崇徳大学2023年の一般入試の問題です。

出題範囲は数学Ⅰ・数学Aです。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

全体的に教科書の章末問題や節末問題が解ければ対応できるくらいの難易度です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説(第1問)

第1問

第1問の解説

(1)和と差の積の乗法公式を使って展開をしていきます。

 (ax-a)^{2}=a^{2}(x-1)^{2}

であることに注意をすると

 \begin{eqnarray*} (2x-2)^{2}(x+1)^{2}&=&4(x-1)^{2}(x+1)^{2}\\ &=&4(x^{2}-1)^{2}\\ &=&4(x^{4}-2x^{2}+1)\\ &=&4x^{4}-8x^{2}+4\end{eqnarray*}

となります。

(2)一度展開をしてから因数分解を行うのも一つの手ですが、この解き方でいくと数学Ⅱで習う因数定理が必要になります。

次のように因数分解を行うと数学Ⅰだけの知識でできます。

 \begin{eqnarray*}(x+2)^{3}-9x-18&=&(x+2)^{3}-9(x+2)\\ &=&(x+2)\{ (x+2)^{2}-9\} \\ &=&(x+2)\{ (x+2)+3\} \{ (x+2)-3\} \\ &=&(x+2)(x+5)(x-1)\end{eqnarray*}

(3)高校で初めて出てくる分母の有理化のパターンです。次のようにしていきます。

 \begin{eqnarray*} \frac{4}{2+\sqrt{6}}&=&\frac{4(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} \\ &=&\frac{4(\sqrt{6}-2)}{6-4}\\ &=&\frac{4(\sqrt{6}-2)}{2}\\ &=&2(\sqrt{6}-2)\\ &=&2\sqrt{6}-4\end{eqnarray*}

問題と問題の解説(第2問)

第2問

第2問の解説

(1)ド・モルガンの法則より \bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A\cup B}が成り立ちます。

したがって、集合 Uの中で集合 A\cup Bの要素に含まれていないものを書き並べれば良いということになります。よって

 \bar{A}\cap \bar{B}=\{ 8,9\}

となります。

(2)集合 A,\ B,\ Cの条件から

 A\cup B\cup C=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\}

となります。この集合から集合 Cを取り除くと A\cup Bという集合になりますので、この集合と見比べると、 8だけ無くなっていることがわかります。

したがって、 8は集合 Cだけに属する要素です。

集合 A\cap Cと集合 B\cap Cの要素を入れると

 C=\{ 6,7,8\}

であることがわかります。

問題と問題の解説(第3問)

第3問

第3問の解説

両問とも頻出問題ですので、すぐに解答できるようにしておいたほうが良さそうです。

(1)で調べることは、次の2つの命題

 x\gt y\Longrightarrow x^{2}\gt y^{2}

 x^{2}\gt \Longrightarrow x\gt y

の真偽です。これら2つの命題は偽です。

前者は x=-2,\ y=1、後者は x=1,\ y=-2がそれぞれ反例となっています。

したがって、答えは(エ)の「必要条件でも十分条件でもない」となります。

(2)で調べることは、次の2つの命題

 x+y\gt 0\Longrightarrow x\gt 0かつ y\gt 0

 x\gt 0かつ y\gt 0\Longrightarrow x+y\gt 0

の真偽です。前者の命題は x=3,\ y=-1が反例となるので偽、後者は真の命題です。

したがって、答えは(イ)の「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

問題と問題の解説(第4問)

第4問

第4問の解説

(1)扱う関数が2次関数ですので、まずは平方完成を行います。

 f(x)=x^{2}-2ax+4

ですので、この右辺の式を平方完成すると

 f(x)=(x-a)^{2}-a^{2}+4

となります。したがって、この関数の最小値は x=aのとき -a^{2}+4をとります。

(2)放物線の軸(頂点)と定義域の位置関係で場合分けをします。

定義域が 0\leqq x\leqq 4ですので、 a\gt 2のとき最大値は f(4) a\leqq 2のとき最大値は f(0)となります。

ですが、 f(0)=4ですので、 a\leqq 2のときは条件を満たすことはありません。

 a\gt 2のときの条件は f(4)=12ですので、この式を aを用いて表すと

 -8a+20=12

となります。これは aについての方程式になりますので、この方程式を解くと a=1で、これは a\gt 2を満たします。

よって、この問題の答えは a=1となります。

問題と問題の解説(第5問)

第5問

第5問の解説

この問題で注意すべき点は「この四角形が円に内接しているとは限らない」というところです。

当然ですが、問題文に「円に内接する四角形」という記述がないので、 \angle C=60^{\circ }ではありません。

(1) \triangle ABD余弦定理を用いると

 \begin{eqnarray*} BD^{2}&=&5^{2}+3^{2}-2\cdot 5\cdot 3\cdot \cos{120^{\circ }}\\ &=&25+9-2\cdot 5\cdot 3\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\ &=&25+9+15\\ &=&49\end{eqnarray*}

 BD\gt 0ですので BD=7となります。

(2) \triangle BCD余弦定理を用いると

 \begin{eqnarray*} \cos{C}&=&\frac{5^{2}+4^{2}-7^{2}}{2\cdot 5\cdot 4}\\ &=&\frac{25+16-49}{40}\\ &=&\frac{-8}{40}\\ &=&-\frac{1}{5}\end{eqnarray*}

(3)三角比の相互関係と(2)より

 \displaystyle \sin{C}=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}

問題と問題の解説(第6問)

第6問

第6問の解説

(1)平均値の取りうる値が最小となるのは全員が階級の最小値を取るときなので

 \displaystyle \frac{1}{10}(0\times 3+10\times 4+20\times 3)=10

最大となるのは全員が階級の最大値を取るときなので、テストの得点が自然数であることから

 \displaystyle \frac{1}{10}(9\times 3+19\times 4+29\times 3)=19

(2)10人の平均点が 15.2点であることから

 8+7+16+22+25+18+4+12+16+x=152

が成り立ちます。この式を整理すると

 128+x=152

となります。この方程式を解くと x=24

問題と問題の解説(第7問)

第7問

第7問の解説

(1) 12%の食塩水 200gに食塩は

 \displaystyle 200\times 12\times \frac{1}{100}=24g

 15%の食塩水 400gに食塩は

 400\times 15\times \frac{1}{100}=60g

含まれています。食塩の濃度は(数学で求める濃度は質量%濃度です)

(食塩の量) \div (全体の量) \times 100

で求めます。食塩の量は 24+60=84、全体の量は 200+400=600ですので

(濃度) \displaystyle =\frac{84}{600}\times 100=14

となります。よって、答は 14%です。

(2)加えた水の量を xgとすると

 \displaystyle \frac{60}{400+x}\times 100=12

が成り立ちます。この方程式を解くと

 \begin{eqnarray*} \frac{60}{400+x}\times 100&=&12\\ 60\times 100&=&12(400+x)\\ 6000&=&12(400+x)\\ 500&=&400+x\\ x&=&100\end{eqnarray*}

となりますので、加えた水の量は 100gとなります。

問題と問題の解説(第8問)

第8問

第8問の解説

(1) A Bが端に並ぶ並び方は

 A B

 B A

の2つのパターンが考えられます。ただし、□には A B以外の4人が並んでいます。

□の中の並び方は 4!=24通りあるので、 A Bが端に来る並び方は

 24\times 2=48通り

(2)6人の並び方の総数は 6!=720通りあります。

 Aが右端または左端に来る並び方は 5!\times 2=240通り、 Bが右端または左端に来る並び方は同様に 240通りあります。

したがって、 Aまたは Bが右端または左端にいる並び方の総数は 240+240-48=432通りです。

求める場合の数は A Bも端にいない並び方の総数なので、全体から Aまたは Bが右端または左端にいる並び方の総数除いて

 720-432=288通り

ということになります。

問題と問題の解説(第9問)

第9問

第9問の解説

(1) bのマスに止まる場合は

(i)サイコロを1回振って2の目が出る。

(ii)サイコロを2回振って1の目が2回出る。

の2つの場合が考えられます。

(i)が起こる確率は \displaystyle \frac{1}{6}、(ii)が起こる確率は \displaystyle \left( \frac{1}{6}\right) ^{2}=\frac{1}{36}です。

(i)と(ii)は同時に起こりませんので、 bのマスに止まる確率は

 \displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{36}=\frac{7}{36}

となります。

(2) cのマスに止まる場合は

(i)サイコロを1回振って3の目が出る。

(ii)サイコロを2回振って1の目と2の目が出る。

(iii)サイコロを3回振って3回とも1の目が出る。

の3つの場合が考えられます。

(1)と同様の考え方で、(i)が起こる確率は \displaystyle \frac{1}{6}、(ii)が起こる確率は1と2が出る順番を考慮して \displaystyle \frac{1}{18}、(iii)が起こる確率は \displaystyle \frac{1}{216}です。

(i)、(ii)、(iii)は同時には起こりませんので、 cのマスに止まる確率は

 \displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{18}+\frac{1}{216}=\frac{49}{216}

となります。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

基礎的な問題が多く、ちゃんと入試勉強をしていれば満点が狙えそうなくらいの難易度かと思います。

高3の学年になると数学Ⅰと数学Aを終えてから時間が経っていることが多いようですので、復習としてこの問題を解いてみるのも良いかもしれません。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学一般入試前期日程2日目】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

(1)実数 x x^{2}-5x+6=0を満たすことは x^{2}-11x+9\lt 0を満たすための( )

(2) 0^{\circ }\lt \theta \lt 180^{\circ }とする。 \displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}であることは \displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2022年常葉大学一般入試2日目で出題された問題です。

今回は数学Ⅰ・Aの知識だけで解けそうです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

方程式と不等式が与えられていますので、とりあえずそれらを解いてみます。

方程式 x^{2}-5x+6=0を解くと

 \begin{eqnarray*} x^{2}-5x+6&=&0\\ (x-2)(x-3)&=&0\end{eqnarray*}

となりますので、この方程式の解は x=2,\ x=3となります。

不等式 2x^{2}-11x+9\lt 0を解くと

 \begin{eqnarray*} 2x^{2}-11x+9&\lt &0\\ (2x-9)(x-1)&\lt &0\end{eqnarray*}

となりますので、この不等式の解は \displaystyle 1\lt x\lt \frac{9}{2}となります。

上の方程式の解全体の集合を P、不等式の解全体の集合を Qとすると

 \displaystyle P=\{ 2,\ 3\}\ ,\ Q=\left\{ x|1\lt x\lt \frac{9}{2}\right\}

となります。ここで、集合 Pの要素に注目すると 2\in Q,\ 3\in Qが言えますので、包含関係 P\subset Qが成り立つことがわかります。

したがって、実数 x x^{2}-5x+6=0を満たすことは 2x^{2}-11x+9\lt 0を満たすための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

前提条件は 0^{\circ }\lt \theta \lt 180^{\circ }です。

このとき、 \sin{\theta }\gt 0であることに注意します。

この条件下で以下の命題の真偽を調べます。

(i) \displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}\Longrightarrow \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}

(ii) \displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \sin{\theta }=\frac{1}{2}

命題(i)について、 \theta =150^{\circ }のとき \displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}を満たしますが、 \displaystyle \cos{\theta }=-\frac{\sqrt{3}}{2}ですので、結論の \displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}を満たしていません。

したがって、命題(i)は偽となります。

命題(ii)について、前提条件と三角比の相互関係から

 \begin{eqnarray*} \sin{\theta }&=&\sqrt{1-\cos^{2}{\theta }}\\ &=&\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{3}{4}}\\ &=&\sqrt{\frac{1}{4}}\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}

となりますので、この命題は真となります。

以上から、 \displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}であることは \displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか?

方程式・不等式に関する問題は一度解いてみると解答が出やすいです。

その後は集合で表して包含関係を見てみるといった手順になるかと思います。

ですので、集合と必要条件・十分条件の項目はとても重要です。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学一般入試前期日程1日目】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

 x,\ yは実数とする。

(1) x\lt 1かつ y\lt 1であることは x+y\leqq 3であるための( )

(2) |x|\lt 1かつ |y|\lt 1であることは x^{2}+y^{2}\lt 1であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2022年常葉大学一般入試前期日程1日目で出題された問題です。

常葉大学の一般入試の数学は「数学①」と「数学②」があります。

「数学①」の出題範囲は「数学Ⅰ」と「数学A」、「数学②」の出題範囲は「数学Ⅰ」、「数学A」、「数学Ⅱ」、「数学B」となっています。

今回の問題は「数学①」と「数学②」両方で出題されていますので、数学Ⅱ・Bの知識がなくても解ける問題です。

(2)の問題は図示ができれば解くのが早いですが、図示するのに数学Ⅱの「図形と方程式」の単元の知識が必要です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 x\lt 1かつ y\lt 1\Longrightarrow x+y\leqq 3の真偽を調べます。

 x yはともに 1より小さいので

 x+y\lt 2

が成り立ちます。したがって、等号は成立することはありませんが x+y\leqq 3は成り立ちますので、この命題は真です。

命題 x+y\leqq 3\Longrightarrow x\lt 1かつ y\lt 1の真偽を調べます。

 x=2,\ y=0 x+y\leqq 3を満たしていますが、 x\lt 1かつ y\lt 1を満たしていませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

以上から、 x\lt 1かつ y\lt 1であることは x+y\leqq 3であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 |x|\lt 1かつ |y|\lt 1\Longrightarrow x^{2}+y^{2}\lt 1の真偽を調べます。

 \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}は仮定を満たしていますが、

 \begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ &=&1\end{eqnarray*}

となり、結論の x^{2}+y^{2}\lt 1を満たしていませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

命題 x^{2}+y^{2}\Longrightarrow |x|\lt 1かつ |y|\lt 1の真偽を調べます。

この命題の対偶 |x|\geqq 1または |y|\geqq 1\Longrightarrow x^{2}+y^{2}\geqq 1を考えてみます。

 |x|\geqq 1であるとき x^{2}\geqq 1となりますので x^{2}+y^{2}\geqq 1を満たします。

 |y|\geqq 1のときも同様に言えますので、この命題は真ということになります。

命題の対偶の真偽と元の命題の真偽は一致しますので、元の命題も真ということになります。

以上から、 |x|\lt 1かつ |y|\lt 1であることは x^{2}+y^{2}\lt 1であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

図示をした場合は

 P=\{ (x,y)||x|\lt 1,\ |y|\lt 1\}

 Q=\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\lt 1\}

とおいて、集合 Pと集合 Qの包含関係を見てみます。

青く塗っている部分が集合 Pを表す部分、赤く塗っている部分が集合 Qを表す部分となります。

この図を見てみると Q\subset Pとなっていますので、この図から「必要条件であるが十分条件ではない」と解答しても良いです。

いかがだったでしょうか?

今回は不等式に関する問題でした。

(1)の問題は大小比較が重要になっていきます。

(2)の問題は x^{2}+y^{2}=1を満たす点を見つければ反例として挙げることができます。

数学Ⅰ・Aだけの知識だと今回の問題を解くのは少し大変かもしれません。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

八戸工業大学の過去問【2023年一般入試】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
問題の難易度について
第1問
第2問
第3問
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

八戸工業大学の2023年一般入試の問題です。

今回の問題は当ブログでは初登場です。

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

昨年より第1問が易しくなりましたが、他の問題が難化しています。といっても急激に難しくなっているわけではありません。計算量は昨年と同じくらいですが、「気づく」事ができるかどうかがポイントになります。さすがに旧帝大の問題よりかは易しいですが、教科書よりかは難しいかと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説(第1問)

第1問

第1問の解説

問1

与えられている式において、 xに着目しても yに着目しても次数は 2ですので、どちらかの文字について整理します。今回は xについて整理します。

 \begin{eqnarray*} 2x^{2}+13xy+15y^{2}-2x-10y&=&2x^{2}+(13y-2)x+15y^{2}-10y\\ &=&2x^{2}+(13y-2)x+5y(3y-2)\\ &=&(2x+3y-2)(x+5y)\end{eqnarray*}

問2

 x2次方程式 x^{2}+(a+1)x+a+1=0の判別式を Dとすると

 \begin{eqnarray*} D&=&(a+1)^{2}-4(a+1)\\ &=&a^{2}+2a+1-4a-4\\ &=&a^{2}-2a-3\\ &=&(a-3)(a+1)\end{eqnarray*}

2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は D\gt 0ですので、この条件を満たすような aの値の範囲は a\lt -1,\ 3\lt aとなります。

問3

放物線の式を変形(平方完成)すると

 y=(x+a)^{2}-a^{2}-1

となります。したがって、この放物線の頂点は (-a,-a^{2}-1)となります。この頂点が直線 y=2x上にあるとき

 -a^{2}-1=2\cdot (-a)

が成り立ちます。この方程式を解くと

 \begin{eqnarray*} -a^{2}-1&=&-2a\\ a^{2}-2a+1&=&0\\ (a-1)^{2}&=&0\end{eqnarray*}

よって a=1となります。

問4

求める2次関数を y=ax^{2}+bx+cとおくと、点 A(1,3),\ B(\sqrt{2},3+\sqrt{3}),\ C(10,111)を通りますので、連立方程式

 \left\{ \begin{array}{ccc}a+b+c&=&3\\ 2a+\sqrt{2}b+c&=&3+\sqrt{2}\\ 100a+10b+c&=&111\end{array}\right.

を解くことになります。まともに加減法や代入法で解くとしんどいので、第2式に注目してみます。 a=1,\ b=1,\ c=1は第2式の等式を満たしています。残りの2つの等式も満たすかどうかをチェックすればいいですが、これらも満たしています。したがって、この連立方程式の解は (a,b,c)=(1,1,1)となります。よって、求める2次関数の式は

 y=x^{2}+x+1

となります。

問題と問題の解説(第2問)

第2問

第2問の解説

問1

与えられた式を変形していくと

 \begin{eqnarray*} \sin^{2}{\theta }-14\sin{\theta }\cos{\theta }+49\cos^{2}{\theta }&=&0\\ (\sin{\theta }-7\cos{\theta })^{2}&=&0\end{eqnarray*}

となりますので、 \sin{\theta }=7\cos{\theta }…①となります。 \theta =90^{\circ }はこの等式を満たしませんので、 \cos{\theta }\not=0です。ですので、等式①の両辺を \cos{\theta }で割って、三角比の相互関係 \displaystyle \frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}=\tan{\theta }を用いると

 \tan{\theta }=7

となります。

問2

 \triangle ABCの面積を Sとすると

 \begin{eqnarray*} S&=&\frac{1}{2}\times AC\times AB\times \sin{A}\\ &=&\frac{1}{2}\times 4\times 3\times \frac{\sqrt{3}}{2}\\ &=&3\sqrt{3}\end{eqnarray*}

線分 AD \angle CABの二等分線なので \angle CAD=\angle DAB=30^{\circ }です。 S=\triangle ACD+\triangle ABDでもあるので

 \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\times AC\times AD\times \sin{\angle CAD}+\frac{1}{2}\times AD\times AB\times \sin{\angle DAB}&=&3\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}\times 4\times AD\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3\times AD\times \frac{1}{2}&=&3\sqrt{3}\\ \frac{4}{4}AD+\frac{3}{4}AD&=&3\sqrt{3}\\ \frac{7}{4}AD&=&3\sqrt{3}\\ AD&=&\frac{12\sqrt{3}}{7}\end{eqnarray*}

問3

問題文を言い換えると、 \triangle ABCの外接円の半径が 4だということに注意すると、 \triangle ABCに正弦定理を用いると

 \displaystyle \frac{2}{\sin{A}}=8

したがって、 \displaystyle \sin{A}=\frac{1}{4}となります。三角比の相互関係 \sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1を用いると

 \displaystyle \cos^{2}{A}=1-\left( \frac{1}{4}\right) ^{2}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}

問4

円に内接する四角形の向かい合う角の和は 180^{\circ }ですので、 D=180^{\circ }-Bです。したがって \cos{D}=-\cos{B}となります。このことを用いて \cos{B}の値を求めます。 \triangle ABC余弦定理を用いると

 AC^{2}=8-8\cos{B}…①

 \triangle ACD余弦定理を用いると

 AC^{2}=25+24\cos{B}…②

①と②より

 8-8\cos{B}=25+24\cos{B}

この方程式を解くと \displaystyle \cos{B}=-\frac{17}{32}となります。

問題と問題の解説(第3問)

第3問

第3問の解説

問1

複素数 z a+biの形に直すと

 \begin{eqnarray*} z&=&\frac{(7+3i)(5+2i)}{25+4}\\ &=&\frac{35+14i+15i+6i^{2}}{29}\\ &=&\frac{29+29i}{29}\\ &=&1+i\end{eqnarray*}

 z^{2}=1+2i-1=2iであることに注意すると

 \begin{eqnarray*} z^{10}&=&(z^{2})^{5}\\ &=&(2i)^{5}\\ &=&32i^{5}\\ &=&32i\end{eqnarray*}

問2

 x^{100}+x^{25}+1 x^{2}-1で割った余りを ax+bとおき、 P(x)=x^{100}+x^{25}+1とします。剰余の定理より

 P(1)=3より a+b=3…①

 P(-1)=1より -a+b=1…②

①と②は同時に満たすので、連立方程式

 \left\{ \begin{array}{ccc} a+b&=&3\\ -a+b&=&1\end{array}\right.

を解くことになります。この連立方程式の解は (a,b)=(1,2)となりますので、求める余りは x+2となります。

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

解く方針を立てること自体は教科書の章末問題や節末問題が解ければ大丈夫かと思います。

ですが、計算量は教科書の問題よりかは多いので、その練習が必要になってくるかと思います。

ところで、この大学の一般入試は毎年第1問に2次関数、第2問に図形と計量・三角関数、第3問に複素数と方程式の問題が出題されています。

数学Ⅱが出題範囲として入っているようですが、微分積分の問題が無いのが残念です。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学奨学生入試】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

 a,\ b,\ cは実数とする。

(1) (a-1)(b-2)(c-6)=0であることは a=1かつ b=2かつ c=6であるための( )

(2) (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0であることは a+b+c=9であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

常葉大学の2022年度奨学生入試で出題された問題です。

細かいことかもしれませんが、「または」と「かつ」の意味に注意しないといけない問題です。

勘違いも起こりそうな問題ですので慎重に解いていくべきです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 (a-1)(b-2)(c-6)=0\Longrightarrow a=1かつ b=2かつ c=6の真偽を調べます。

仮定は (a-1)(b-2)(c-6)=0ですので、 a=1 b=2 c=6のうちどれか1つを満たせば良いです。

したがって、 a=b=c=1は仮定の (a-1)(b-2)(c-6)=0を満たしています。

ところが、結論の a=1かつ b=2かつ c=6を満たしていませんので、これが反例となります。

したがって、この命題は偽となります。

命題 a=1かつ b=2かつ c=6\Longrightarrow (a-1)(b-2)(c-6)=0の真偽を調べます。

仮定より a=1かつ b=2かつ c=6を満たしますので、 a-1=0,\ b-2=0,\ c-6=0を満たしています。

したがって、 (a-1)(b-2)(c-6)=0をみたすので、この命題は真となります。

以上より、 (a-1)(b-2)(c-6)=0 a=1かつ b=2かつ c=6であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0\Longrightarrow a+b+c=9の真偽を調べます。

仮定より a=1かつ b=2かつ c=6を満たしますので

 \begin{eqnarray*} a+b+c&=&1+2+6\\ &=&9\end{eqnarray*}

となります。よって、この命題は真となります。

命題 a+b+c=9\Longrightarrow (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0の真偽を調べます。

 a=9,\ b=0,\ c=0は仮定の a+b+c=9を満たしています。このとき

 \begin{eqnarray*} (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}&=&(9-1)^{2}+(0-2)^{2}+(0-6)^{2}\\ &=&8^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}\\ &=&64+4+36\\ &=&104\end{eqnarray*}

となり、 (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0を満たしていませんので、これが反例となります。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0 a+b+c=9であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか?

 (a-1)(b-2)(c-6)=0であることは a=1または b=2または c=6であるための必要十分条件

 (a-1)^{2}+(b-2)^{2}+(c-6)^{2}=0であることは a=1かつ b=2かつ c=6であるための必要十分条件

であることは正しいのですが、この条件と勘違いしないように慎重に解くことが大切な問題でありました。

どんな問題でもそうですが、先走ると危険ですので、少し立ち止まって考えてみて安全な道を選んで進むのが最も良い方法かもしれません。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

必要条件・十分条件の問題【2021年常葉大学一般入試後期日程】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

今回の問題
今回の問題について
今回の問題の解説
いかがだったでしょうか?

今回の問題

 a,\ bは実数とする。

(1) a\lt bであることは a^{2}\lt b^{2}であるための( )

(2) ab\gt 0であることは「 a\gt 0かつ b\gt 0」または「 a\lt 0かつ b\lt 0」であるための( )

( )には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2021年常葉大学一般入試後期日程で出題された問題です。

2問ともこのブログで取り上げた問題ですが、改めて解説をしていきます。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 a\lt b\Longrightarrow a^{2}\lt b^{2}の真偽を調べます。

 a=-2,\ b=-1とすると、 a\lt bを満たしています。

ところが、 a^{2}=4,\ b^{2}=1ですので、結論の a^{2}\lt b^{2}を満たしていません。

よって、この命題は偽になります。

命題 a^{2}\lt b^{2}\Longrightarrow a\lt bの真偽を調べます。

 a=1,\ b=-2とすると、 a^{2}=1,\ b^{2}=4ですので a^{2}\lt b^{2}を満たしています。

ところが、 a\gt bとなっていますので、結論の a\lt bを満たしていません。

よって、この命題は偽となります。

以上から、 a\lt b a^{2}\lt b^{2}であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

(2)の問題について

 a\gt 0かつ b\gt 0」または「 a\lt 0かつ b\lt 0」であることと a bが同符号であることは同じことを言っていますので、代わりに

 ab\gt 0\Longrightarrow a,\ bが同符号

 a,\ bが同符号 \Longrightarrow ab\gt 0

の2つの命題の真偽を調べることになります。

これら2つの命題はともに真ですので、 ab\gt 0であることは「 a\gt 0かつ b\gt 0」または「 a\lt 0かつ b\lt 0」であるための「必要十分条件」となります。

いかがだったでしょうか?

今回の問題は2問とも頻出問題です。

答えを覚えていても損はないと思いますが、数学は「なぜそうなるのか」という部分が最も大事な部分ですので、そこが説明できるようになっておくことが大切です。

少なくとも(1)の問題で作った命題の反例は挙げれるようにはしておいた方が良いですね。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper

八戸工業大学の過去問【2022年一般入試】

ご訪問ありがとうございます!

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです!管理人のRedchopperです!よろしくお願いします!

目次

今回の問題
問題の難易度について
第1問
第2問
第3問
いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

今回の問題

八戸工業大学の2022年一般入試の問題です。

この問題もマーク方式にして紹介しました。1年前ですか。あっという間です。このあたりはMarkdownを導入しているのでちゃんと数式を使って解説していますね。解説を省略してもいいくらいですが、改めて解説をしていこうと思います。

以前の記事はこちらです。↓

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題の難易度について

難易度は☆☆☆です。

第1問と第3問は昨年と同じくらいの難易度かと思いますが、第2問が昨年より難化しているように思えます。三角関数を上手く使いこなせないと解くのが難しいかもしれません。計算量は昨年と同じくらいですので解きやすいかと思います。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説(第1問)

第1問

第1問の解説

問1

不等式 x(12x+17)\lt 40を解くと

 \begin{eqnarray*} x(12x+17)&\lt &40\\ 12x^{2}+17x-40&\lt &0\\ (3x+8)(4x-5)&\lt &0\end{eqnarray*}

したがって、不等式の解は \displaystyle -\frac{8}{3}\lt x\lt \frac{5}{4}となります。

問2

放物線 y=2x^{2}+5kx+1と直線 y=-7kx-1との交点の個数は、 x2次方程式

 2x^{2}+5kx+1=-7kx-1

の実数解の個数になります。この方程式を整理すると

 x^{2}+6kx+1=0

となります。この方程式の判別式を Dとすると

 D/4=9k^{2}-1

となります。放物線と直線が接するとき、 D=0が条件ですので、このような kの値は \displaystyle k=\pm \frac{1}{3}となります。問題文で k\gt 0が要請されているので \displaystyle k=\frac{1}{3}が答となります。

問3

2次関数の式を変形(平方完成)すると

 \displaystyle y=\left( x+\frac{9}{2}\right) ^{2}-\frac{81}{4}+a

となります。この関数の最小値が \displaystyle \frac{1}{2}ですので

 \displaystyle -\frac{81}{4}+a=\frac{1}{2}

が成り立ちます。この方程式を解くと \displaystyle a=\frac{83}{4}となります。

問4

求める2次関数を y=ax^{2}+bx+cとおきます。点 A(2,-11),\ B(-3,-26),\ C(-1,-8)を通りますので、連立方程式

 \left\{ \begin{array}{ccc} 4a+2b+c&=&-11\\ 9a-3b+c&=&-26\\ a-b+c&=&-8\end{array}\right.

が成り立ちます。この連立方程式の解は (a,b,c)=(-2,1,-5)ですので、求める2次関数の式は y=-2x^{2}+x-5となります。

問題と問題の解説(第2問)

第2問

第2問の解説

問1

三角比の相互関係 \sin^{2}{\theta }+\cos^{2}{\theta }=1より

 \begin{eqnarray*} \cos^{2}{\theta }&=&1-\sin^{2}{\theta }\\ &=&1-\left( \frac{1}{10}\right) ^{2}\\ &=&1-\frac{1}{100}\\ &=&\frac{99}{100}\end{eqnarray*}

となりますので、三角比の相互関係 \displaystyle 1+\tan^{2}{\theta }=\frac{1}{\cos^{2}{\theta }}より

 \begin{eqnarray*} 1+\tan^{2}{\theta }&=&\frac{100}{99}\\ \tan^{2}{\theta }&=&\frac{100}{99}-1\\ &=&\frac{1}{99}\end{eqnarray*}

したがって、 \displaystyle \frac{1}{\tan^{2}{\theta }}=99となります。

問2

 \triangle ABC余弦定理を用いると

 \begin{eqnarray*} BC^{2}&=&CA^{2}+AB^{2}-2CA\cdot AB\cdot \cos{A}\\ 9\sin^{2}{A}&=&1^{2}+3^{2}-2\cdot 1\cdot 3\cdot \cos{A}\\ 9(1-\cos^{2}{A})&=&1+9-6\cos{A}\\ 9-9\cos^{2}{A}&=&10-6\cos{A}\\ 9\cos^{2}{A}-6\cos{A}+1&=&0\\ (3\cos{A}-1)^{2}&=&0\end{eqnarray*}

となりますので、 \displaystyle \cos{A}=\frac{1}{3}となります。

問3

 \triangle ABCに正弦定理を用いると

 \begin{eqnarray*} \frac{AC}{\sin{B}}&=&\frac{BC}{\sin{A}}\\ \frac{\frac{1}{4}}{\sin{B}}&=&\frac{2\sin{B}}{\frac{1}{2}}\\ 2\sin^{2}{B}&=&\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}\\ \sin^{2}{B}&=&\frac{1}{16}\end{eqnarray*}

 0^{\circ }\lt B\lt 180^{\circ }ですので \sin{B}\gt 0です。したがって、 \displaystyle \sin{B}=\frac{1}{4}となります。

問4

 A+B+C=180^{\circ }より \sin{(B+C)}=\sin{(180^{\circ }-A)}=\sin{A}が成り立ちます。また、三角形の面積に関して

 \displaystyle S=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin{A}

であるので、この等式に与えられた数値を代入して ACの値を求めると

 \begin{eqnarray*} 5\sin{(B+C)}&=&\frac{1}{2}\times 7\times AC\times \sin{A}\\ 5\sin{A}&=&\frac{7}{2}\times AC\sin{A}\\ \frac{7}{2}AC&=&5\\ AC&=&\frac{10}{7}\end{eqnarray*}

となります。

問題と問題の解説(第3問)

第3問

第3問の解説

対称式に関する問題です。

対称式の値は基本対称式 a+b abの値がわかれば求めることができます。

今回の問題の場合は a+bの値が与えられていますので、 a^{3}+b^{3}の値から abの値を求めます。

 a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b) \displaystyle a^{3}+b^{3}=\frac{7\sqrt{5}}{2},\ a+b=\sqrt{5}より

 \begin{eqnarray*} \frac{7\sqrt{5}}{2}&=&5\sqrt{5}-3\sqrt{5}ab\\ 3\sqrt{5}ab&=&5\sqrt{5}-\frac{7\sqrt{5}}{2}\\ &=&\frac{3\sqrt{5}}{2}\\ ab&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}

となります。したがって

 \begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}&=&\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}\\ &=&\frac{(a+b)^{2}-2ab}{(ab)^{2}}\\ &=&\frac{5-1}{\frac{1}{4}}\\ &=&16\end{eqnarray*}

いかがだったでしょうか?〜解いてみた感想〜

第2問は変わった問題でした。

辺の長さに三角比の値が含まれているので、上手く正弦定理・余弦定理を使わないと計算に手間取ってしまいます。

第3問の計算量がだいぶ減ったように思います。

今回の問題は対称式の扱い方がわかっていればすぐに解けるような問題でした。

 

それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/

X(Twitter)で更新を報告しています!フォローよろしくお願いします(・ω・)

https://twitter.com/red_red_chopper