マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

数列の問題ver.20220527

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は宮城県仙台市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

ある規則性で分数が並んでいますが、この数列を群分けすることがポイントです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

規則性を見て群分けを行います。次のように群分けをしてみます。

 \displaystyle \frac{1}{1}\mid \frac{1}{2},\frac{2}{1}\mid \frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1}\mid \frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1}\mid \frac{1}{5},\frac{2}{4},\frac{3}{3},\cdots

同じ群に属する項は、分母と分子の数の和が同じです。

このようにして群分けしたとき、同じ群に属する項に共通点があるよに群分けを行うと見通しが良くなります。

群分けをした数列を見てみると、1番目の群は分母と分子の和が2の分数、3番目の群には分母と分子の和が4の分数が属しています。

また、同じ群の m番目には分子が mの分数がありますので、第 n群の m番目の項の数は \displaystyle \frac{m}{n-m+1}であることがわかります。

同じ群に属する項の個数も必ず確認しておきます。

順番に見ていくと、1番目の群には1個の項、2番目の群には2個の項、3番目の群には3個の項があります。

規則性を考えると、 n番目の群には n個の項があることがわかります。

ですので、 n番目の群の最後の項は \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)番目の項であることがわかります。

同じように考えますと、 n-1番目の群の最後の項は \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)番目の項となりますが、この次の項が n番目の群の最初の項となりますので、 n番目の群の最初の項は \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1番目の項であることがわかります。

このことを使って a_{k}がどの群に属するかを探ります。

これは \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1\leqq k\leqq \frac{1}{2}n(n+1)を満たす自然数 nを探せば良いです。

例えば、(1)の問題のように a_{30}であれば、 \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)+1\leqq 30\leqq \frac{1}{2}n(n+1)を満たす自然数 n=8ですので、 a_{30}は8番目の群に属する項であることがわかります。

また、8番目の群の最初の項は、この数列の29番目の項なので、 a_{30}は8番目の群の2番目の項であることがわかります。

 n番目の群の m番目の項は \displaystyle \frac{m}{n-m+1}ですので、 \displaystyle a_{30}=\frac{2}{7}となります。

(2)も a_{50}がどの群の何番目の項かを探ると計算の方針が見えます。

同じ群に属する全ての項の積が1になることに注意すると、計算は楽です。

(3)の問題は99番目の項まで考えれば良いので a_{99}が何番目の群の何番目の項かを探れば良いです。

 \displaystyle \frac{1}{2}n(n-1)\leqq 99\leqq \frac{1}{2}n(n+1)を満たす自然数 n n=14です。

また、 a_{k}=1となっている項は、分母と分子の数が一致しているときで、そのような項は奇数番目の群の中央にあります。

99番目の項までに a_{k}=1となっている項のうち kの値が最も大きいものは、 a_{k}が13番目の群の中央(7番目)になりますので

 \displaystyle k=\frac{1}{2}\times 13\times 12+7=85

が求める kの値になります。

いかがだったでしょうか?

群数列は扱い方がわかると難しくないです。

難しく感じてしまうのは扱い方がわからないのが原因と考えられます。

群数列はやることがワンパターンです。是非とも解けるようにしておきたい問題ですね。

 

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数列の問題ver.20220526

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は埼玉県・さいたま市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

条件を探し出して漸化式を作る問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

長方形の内部に直線を引き、引いた直線によって分けられる平面の個数を求める、という問題です。

平面の分け方については、分割された個数が最も多くなるように分けますが、そのように分けるためには

・どの2本の直線も交わる

・どの3本の直線も1点で交わらない

というように直線を引きます。

漸化式を立てる際は、 a_{n}の意味をしっかり理解することが大切です。

 n本の直線によって、長方形が a_{n}個の部分に分割されたとします。

この後に考えるべきことは、ここからもう1本の直線を引いたら何個の平面が増えるかというところです。

実際の問題でも図が与えられていますが、図を見ると、直線を2本引いたときは直線を1本引いた時より2つ、直線を3本引いた時は直線を2本引いた時より3つの部分が増えています。

直線が3本の時からもう1本、上の条件を満たすように直線を引くと、新たに引いた直線は4つのエリアを2つに分割しますので、 a_{4}=a_{3}+4という関係式が出てきます。

ここまでと同じように考えると、数列 \{ a_{n}\}には次の関係式があることがわかります。

 a_{1}=2,\ a_{n+1}=a_{n}+n+1

これで漸化式を立てることができました。この漸化式から一般項を求めます。

移項すると a_{n+1}-a_{n}=n+1となります。

これは、数列 \{ a_{n}\}の階差数列が n+1であることを意味しますので、数列 \{ a_{n}\}の一般項は n\geqq 2のとき

 \displaystyle a_{n}=2+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)

 \displaystyle =2+\frac{1}{2}n(n-1)+(n-1)

 \displaystyle =\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+1

となります。この結果に n=1を代入すると 2となり、 a_{1}に等しいので、これは n=1のときも成り立ちます。

これで数列 \{ a_{n}\}の一般項が出たわけですが、目標は「平面が67個の部分に分けられるとき、最も少ない本数で何本の直線を引けばいいか」を求めることです。

これについては a_{n}=67を満たす自然数 nを求めれば良いです。

いかがだったでしょうか?

図形と漸化式の問題は漸化式を立てる問題ではよく出てくる問題ではないでしょうか。

私も漸化式を立てる問題に初めて出会したのは「 n個の円によって平面は何個の部分に分けられるか」という問題でした。

このような問題には慣れておかないといけないのかなぁ。図形は少し苦手ですが頑張ろうと思います。

 

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数列の問題ver.20220525

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は福岡県・福岡市・北九州市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

対数関数を用いる漸化式の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

漸化式を見ると嫌な気がしますが、とりあえず \sqrt{\ }が邪魔ですので両辺を2乗してみます。すると

 \displaystyle (a_{n+2})^{2}=\frac{4(a_{n+1})^{5}}{(a_{n})^{3}}

という関係式になります。このままでは扱いづらいです。

そこで、この式の両辺を (a_{n+1})^{2}で割ってみます。

 \displaystyle \left( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\right) ^{2}=4\left( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right) ^{3}

という関係式になりますが、見通しを良くするために \displaystyle b_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}とおくと

 (b_{n+1})^{2}=4(b_{n})^{3}

となります。両辺で指数がずれているので、この場合は両辺に同じ底の対数をとります。

ここでは初期条件の a_{1}=1,a_{2}=2と係数 4に注目して、底が 2の対数を両辺にとります。そうすると

 2\log_{2}{b_{n+1}}=3\log_{2}{b_{n}}+2

という関係式が出ますが、見通しをよくするために c_{n}=/log_{2}{b_{n}}とおくと

 2c_{n+1}=3c_{n}+2

となります。

これは2項間漸化式になりますので、特性方程式 2x=3x+2となる実数 xを見つけます。

この方程式の解は x=-2ですので、漸化式は

 \displaystyle c_{n+1}+2=\frac{3}{2}(c_{n}+2)

と変形できます。

これは数列 \{ c_{n}+2\}が初項 \displaystyle c_{1}+2=\log_{2}{2}+2=3、公比 \displaystyle \frac{3}{2}等比数列であることを表していますので

 \displaystyle c_{n}=3^{n}\left( \frac{1}{2}\right) ^{n-1}-2

となります。置き換えたものを元に戻していくと

 \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=2^{c_{n}}\ \cdots (1)

のようになりますが、ここから a_{n}を求めるには

 \displaystyle \frac{a_{2}}{a_{1}}\times \frac{a_{3}}{a_{2}}\times \frac{a_{4}}{a_{3}}\times \cdots \frac{a_{n}}{a_{n-1}}

を計算する必要がありますが、式(1)から \displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^{n-1}c_{k}を計算すればオールクリアとなります。

いかがだったでしょうか?

このタイプの漸化式は上位の大学の入試で出題されそうです。(どこかでみた気がします)

大学入試で出題される場合は学習指導要領から逸脱する可能性があるので誘導がついていることがあります。

このような問題で誘導がついていなければ難易度がグッと上がりそうですね。解き方を覚えないといけないかもです。

 

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数列の問題ver.20220524

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回は山形県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

一部誘導を付け加えています。大学入試でも出題されそうな問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

分数型は逆数を考えて関係式を立てやすい形にしておきます。

今回の場合は

 \displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{3}

となりますが、見通しを良くするために \displaystyle b_{n}=\frac{1}{a_{n}}とおくと

 \displaystyle b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{3}

という関係式になります。

これは数列 \{ b_{n}\}が初項 b_{1}=1、公差 \displaystyle \frac{1}{3}の等差数列であることがわかりますので、

 b_{n}=\displaystyle \frac{n+2}{3}

となります。

したがって \displaystyle a_{n}=\frac{3}{n+2}となります。

最後の和の計算は

 \displaystyle a_{k}a_{k+1}=\frac{3}{k+2}\times \frac{3}{k+3}=\frac{9}{(k+2)(k+3)}=9\left( \frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right)

というように式変形しておくと、途中の項が上手く消えて計算が楽になります。

この類の問題の出題意図は和の記号がしっかり理解ができているかどうかを確認するためのものかと思います。

いかがだったでしょうか?

大学入試の問題でもよく目にするオーソドックスな問題です。

問題の流れとしてもよくみるようなものです。

実際の問題には置き換えによる誘導がありませんが、誘導なしでも解けるようにしておきたい問題かもしれません。

 

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数列の問題ver.20220523

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今週は教員採用試験で出題された数列の問題です。

今回の問題は京都市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

数列 \{ b_{n}\}の取り方がヒントですが、これがうまく使えるかどうかがポイントになりそうです。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは、数列 \{ b_{n}\}の与え方から、この数列の一般項を求めてみます。

数列の一般項を求めるには

・等差数列か等比数列であることを導く

・漸化式を導く

この2択になるかと思います。

効率が良いのは後者の漸化式を導く方法でしょうか。

等差数列、等比数列どちらかわからない場合にも使えます。

数列 \{ b_{n}\}の定義から漸化式を立てていきますが、いきなりやろうとすると方針が見えませんので、 n=1,\ n=2,\ n=3くらいまで実験をしてみて、規則性を見つけていきます。

 \displaystyle b_{2}=a_{1}\times a_{2}=a_{1}(4-\frac{3}{a_{1}})=4a_{1}-3

 \displaystyle b_{3}=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}=a_{1}\times a_{2}(4-\frac{3}{a_{2}})=4a_{1}\times a_{2}-3a_{1}

 \displaystyle b_{4}=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times a_{4}=a_{1}\times a_{2}\times a_{3}(4-\frac{3}{a_{3}})=a_{1}\times a_{2}(4a_{3}-3)

こんな感じで実験をしてみると、最後2つの因数に注目すると

 a_{n}\times a_{n+1}=4a_{n}-3

という関係式があることがわかります。

この関係式の両辺に a_{1}\times a_{2}\times a_{3}\times \cdots \times a_{n-1}をかけると

 b_{n+1}=4b_{n}-3b_{n-1}

という関係式が出てきます。この関係式から

 b_{n+2}=4b_{n+1}-3b_{n}

が成り立つこともわかりますので、この関係式を使って数列 \{ b_{n}\}の一般項を求めます。

3項間漸化式は、特性方程式を解いて、その解に応じて漸化式を変形するのですが、今回の場合の特性方程式

 x^{2}-4x+3=0

となります。

この特性方程式の解は x=1,3ですので、漸化式は次の2通りに式変形ができます。

 b_{n+2}-3b_{n+1}=b_{n+1}-3b_{n}\ \cdots (1)

 b_{n+2}-b_{n}=3(b_{n+1}-b_{n})\ \cdots (2)

式(1)について考えてみます。

この式は数列 \{ b_{n+1}-3b_{n}\}の関係式であると考えると、初項は b_{2}-3b_{1}=1、公比 1等比数列となりますので

 b_{n+1}-3b_{n}=1\ \cdots (3)

ということになります。

式(2)について考えますと、数列 \{ b_{n+1}-b_{n}\}の関係式であると考えれば、初項 b_{2}-b_{1}=9、公比 3等比数列となりますので

 b_{n+1}-b_{n}=3^{n+1}\ \cdots (4)

ということになります。式(3)と式(4)から b_{n}を求めますと

 \displaystyle b_{n}=\frac{3^{n+1}-1}{2}

になります。

数列 \{ a_{n}\}の一般項 a_{n}を数列 \{ b_{n}\}の項を用いて表すと

 \displaystyle a_{n}=\frac{b_{n}}{b_{n-1}}

となりますので、先ほど求めた b_{n}を用いて a_{n}を求めます。

いかがだったでしょうか?

数列 \{b_{n}\}の関係式を導くことが少し難しいです。

どうにかして定義式に持っていけないか、という考えをしていかないといけないのかもしれません。

 

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図形の問題ver.20220522

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今週は教員採用試験で出題された図形の問題です。

今回は神戸市教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆です。

中学の知識だけで解けるかもしれません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 \triangle ADB \triangle BCAが合同であることの証明は以下のようになります。

 \triangle ADB \triangle BCAにおいて、

線分 ABは円 Oの直径であるので \angle ADB=\angle BCA=90^{\circ }

 DC//ABで、平行線の錯角は等しいので \angle BCD=\angle DBA

円周角の定理より \angle BDC=\angle CAB

したがって、 \angle DBA=\angle CAB

共通な辺なので AB=BA

直角三角形の斜辺と1組の鋭角がそれぞれ等しいので \triangle ADB\equiv \triangle BCA

今回は中学の知識で解説をしていこうと思います。

 \triangle ABC \angle BCA=90^{\circ },\ \angle CBA=60^{\circ }の直角三角形ですので、辺 ABと辺 BCの長さの比は AB:BC=2:1となります。

したがって、 AB=4であることから、 BC=2であることがわかります。

 \triangle ACOに注目すると、この三角形は OA=OC二等辺三角形 \angle CAB=30^{\circ }ですので、 \angle COB=60^{\circ }です。

また、直線 CPは円 Oの点 Cにおける接線なので \angle PCO=90^{\circ }です。

よって、 OC:OP:CP=1:2:\sqrt{3}であることがわかります。

 OCは円 Oの半径で、その長さは2ですので、 OP=4,\ CP=2\sqrt{3}となります。

 OA=2から AP=OP+OA=6ですので、 AP:PC=6:2\sqrt{3}=\sqrt{3}:1となります。

 \triangle PCBの面積については、点 Cから直線 ABに下ろした垂線の長さ hは、ここまで分かったことを踏まえて \triangle COPに注目すると

 \angle COP=60^{\circ },\ \angle PCO=90^{\circ },\ \angle OPC=60^{\circ }

ですので、 h=\sqrt{3}となります。

よって \triangle PCBの面積を Sとすると、 BP=OP-OB=4-2=2が底辺の長さとなりますので

 \displaystyle S=\frac{1}{2}\times \sqrt{3}\times 2=\sqrt{3}

となります。

いかがだったでしょうか?

数学の教員になるためには数学の知識が全体的に必要だということでしょうか、高校入試で出題されるような問題も教員採用試験では出題されているようです。

今回はあえて接弦定理や三角関数のような高校で習うような知識を避けて解説を試みました。

教える対象者に合わせて解き方を複数用意しろということでしょうか。そのように考えるとなかなか難しいです。

 

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図形の問題ver.20220521

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今週は教員採用試験で出題された図形の問題です。

今回は山口県教員採用試験で出題された問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

空間座標が与えられています。ベクトルを使っても使わなくても解けます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)実際の問題では2通りの解き方が要求されていますので、それぞれで解説をしていこうと思います。

余弦定理を用いる方法

 AB,BC,CAの3辺の長さを求めます。

これらの長さは座標から求めることができますので、2点間の距離の公式を使うと

 AB=\sqrt{5},\ BC=\sqrt{17},\ CA=2\sqrt{5}

となります。ここで \triangle ABC余弦定理を用いると、次のようになります。

 \displaystyle \cos{\theta }=\frac{AB^{2}+CA^{2}-BC^{2}}{2\times AB\times CA}=\frac{5+20-17}{2\times 2\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}

②ベクトルを用いる方法

ベクトルを用いて余弦の値を求めるときは、ベクトルの内積を用います。

座標が与えられている場合は、ベクトルは成分表示で表します。

 \overrightarrow{AB}=(-2,-1,0),\ \overrightarrow{AC}=(-2,0,4)

となりますので、それぞれのベクトルの大きさとこの2つのベクトルの内積

 |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5},\ |\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{5},\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4

ですので、ベクトルを用いた場合の \cos{\theta }の求め方は

 \displaystyle \cos{\theta }=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}

となります。

 \triangle ABCの面積を求める際に \sin{\theta }の値が必要となりますが、これは先ほど求めた \cos{\theta }から三角比の相互関係を使って求めることができます。

 \displaystyle \sin{\theta }=\sqrt{1-\left( \frac{2}{5}\right) ^{2}}=\frac{\sqrt{21}}{5}

となります。これを使って \triangle ABCの面積を求めると次のようになります。

 \displaystyle \triangle ABC=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}\times \frac{\sqrt{21}}{5}=\sqrt{21}

原点 Oから \triangle ABCに下ろした垂線の長さを求めるには、四面体 OABCの体積から求めたほうが良さそうです。

その理由は、 OA,OB,OCのどの2本の直線も垂直だからです。

ということは、四面体 OABCの体積は \displaystyle \frac{1}{3}\times OA\times OB\times OCで求めることができます。

この体積の値から、次は底面を \triangle ABCと考えて四面体 OABCの体積を求める方法を考えれば、原点 Oから \triangle ABCに下ろした垂線の長さが求められます。

いかがだったでしょうか?

解き方を複数用意しておかないといけない問題でした。

大学の入試問題であれば解き方は1通り示せば良いので、この問題と比べれば楽かもしれません。

学習指導要領を考慮すると解き方を複数用意しておかないといけないということでしょうか。

教える対象者が変わったら教えるべき内容も変わってしまいますので相手が理解できるような解法を用意してあげられるようにしたいですね。

 

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