九州女子大学の過去問【2020年一般入試B日程】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今回の問題

九州女子大学の2020年一般入試B日程の問題です。

数学Ⅰ・数学Aの内容全般にわたって出題されています。

問題の難易度について

難易度は☆☆です。

全問ともあまり難しくはない問題です。復習には良い問題ではないでしょうか。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

問題と問題の解説（第1問）

第1問

第1問の解説

ここの問題は計算で解くことができます。

(1)の問題

$\begin{eqnarray*}27x^{2}-12y^{2}&=&3(9x^{2}-4y^{2})\\ &=&3(3x+2y)(3x-2y)\end{eqnarray*}$

(2)の問題

$\begin{eqnarray*}6x^{2}+xy-12y^{2}&=&(3x-4y)(2x+3y)\end{eqnarray*}$

(3)の問題

$\begin{eqnarray*}6x^{2}+3y^{2}+9xy+7x+5y+2&=&6x^{2}+(9y+7)x+3y^{2}+5y+2\\ &=&6x^{2}+(9y+7)y+(3y+2)(y+1)\\ &=&\{ 3x+(3y+2)\} \{ 2x+(y+1)\} \\ &=&(3x+3y+2)(2x+y+1)\end{eqnarray*}$

(4)の問題

$\begin{eqnarray*} x^{4}+3x^{2}+4&=&x^{4}+4x^{2}+4-x^{2}\\ &=&(x^{2}+2)^{2}-x^{2}\\ &=&\{ (x^{2}+2)+x\} \{ (x^{2}+2)-x\} \\ &=&(x^{2}+x+2)(x^{2}-x+2)\end{eqnarray*}$

答え

1番：0　2番：2　3番：8　4番：5

問題と問題の解説（第2問）

第2問

第2問の解説

不等式の問題です。係数に文字が含まれているときは、不等式の両辺を割るときに注意が必要です。

(1)の問題

不等式 $x+2\leqq 5x-2$ を解くと、 $x\geqq 1$ となります。

この解が不等式 $4x-3\geqq 3x-2a$ と一致しますので、この不等式を文字係数のまま解くと $x\geqq 3-2a$ となることから、条件は

$3-2a=1$

となります。この方程式を解くと $a=1$ となります。

(2)の問題

不等式 $4bx-3\leqq x$ を変形すると

$(4b-1)x\leqq 3$

となります。ここからの操作は両辺を $4b-1$ で割ることですが、 $4b-1$ の符号によって場合分けが必要になります。

$4b-1\lt 0$ のとき、不等式の解は

$\displaystyle x\geqq \frac{3}{4b-1}$

となります。このとき、不等式の解が $x\leqq 1$ となり得ませんので、この場合は除外します。

$4b-1\gt 0$ のとき、不等式の解は

$\displaystyle x\leqq \frac{3}{4b-1}$

となります。このとき、不等式の解が $x\leqq 1$ となる条件は

$\displaystyle \frac{3}{4b-1}=1$

となりますので、この方程式を解くと $b=1$ となります。

答え

5番：7　6番：7

問題と問題の解説（第3問）

第3問

第3問の解説

集合に関する問題です。全体集合、共通部分、和集合、補集合の要素の数を考えていくと解く方針が立てられます。

(1)の問題

どちらも正しく答えられなかった人の人数は $41$ 人ですので、これ以外の人は「SNS」と「SUM」の意味どちらか一方を答えられたということになります。

したがって、「SMS」「SUM」の単語のうち、どちらか一方の意味を正しく答えられた人の人数は

$100-41=59$ 人

となります。

(2)の問題

どちらも正しく答えられた人の人数を $x$ 人とすると、(1)より

$35+42-x=59$

が成り立ちます。この方程式を解くと $x=18$ となります。

(3)の問題

「SNS」について正しく答えたが、「SUM」について正しく答えられなかった人の人数は、「SNS」を正しく答えられた人数から、「SNS」と「SUM」両方とも正しく答えられた人の人数を除けばいいので、(2)より

$35-18=17$ 人

となります。

答え

7番：10　8番：2　9番：1

問題と問題の解説（第4問）

第4問

第4問の解説

円に内接する四角形に関する問題です。頻出問題ですので、解けるようにしておきたい問題です。

下の図は参考図です。

(1)の問題

四角形 $ABCD$ は円に内接しますので、向かい合う角の和が $180^{\circ }$ であるという性質を持っています。

したがって、 $\angle D=60^{\circ }$ となります。

$\triangle ACD$ に余弦定理を用いると

$\begin{eqnarray*}AC^{2}&=&AD^{2}+CD^{2}-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos{\angle D}\\ &=&81+9-2\cdot 9\cdot 3\cdot \frac{1}{2}\\ &=&63\end{eqnarray*}$

となります。この後は $AC^{2}$ の値しか使いませんので、 $AC$ の値は求めずにそのままにしておきます。次に、 $\triangle ABC$ に余弦定理を用いると

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos{\angle B}$

が成り立ちます。この式にわかっている数値をすべて代入して $BC$ を求めていくと

$\begin{eqnarray*} 63&=&36+BC^{2}-2\cdot 6\cdot BC\cdot \left( -\frac{1}{2}\right) \\ 63&=&BC^{2}+6BC+36\\ BC^{2}+6BC-27&=&0\\ (BC+9)(BC-3)&=&0\end{eqnarray*}$