マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【1989年センター試験施行テスト】

必要条件・十分条件共通テスト

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1) $a,\ b$ を $0$ でない実数とする。このとき、 $a,\ b$ が同符号であることは

$\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2$

が成り立つための（　）

(2) $p,\ q$ を実数とする。 $2p^{2}\geqq q$ であることは、 $x$ の2次方程式

$x^{2}+2px+q=0$

が実数解を持つための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

1989年に実施されたセンター試験施行テストで出題された問題です。

センター試験の問題は要注意な問題が多いので、きちんと命題を立てて考えていくことが大事です。

今回の問題の解説

(1)の問題について

次の2つの命題を考えます。

・ $a,\ b$ が同符号ならば $\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2$

・ $\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2$ ならば $a,\ b$ は同符号

前者の命題については、 $a,\ b$ が同符号なので $\displaystyle \frac{a}{b}\gt 0,\ \frac{b}{a}\gt 0$ となります。

よって、相加平均と相乗平均の関係より

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}+\frac{a}{b}&\geqq &2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}\\ &=&2\end{eqnarray*}$

が成り立ちます。したがって、この命題は真の命題になります。

後者の命題については、 $\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2$ が成り立つとき、この不等式を変形すると

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}+\frac{a}{b}&\geqq &2\\ \frac{a^{2}+b^{2}}{ab}&\geqq &2\\ \frac{1}{ab}&\geqq &\frac{2}{a^{2}+b^{2}}\end{eqnarray*}$

となります。 $a^{2}+b^{2}\gt 0$ なので、 $\displaystyle \frac{1}{ab}\gt 0$ となります。

したがって、 $ab\gt 0$ であることが導かれますので、 $a$ と $b$ は同符号であることがいえます。

よって、この命題は真の命題となります。

以上から、 $a,\ b$ が同符号であることは $\displaystyle \frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqq 2$ であるための「必要十分条件」となります。

(2)の問題について

問題を解く準備として、 $x$ の2次方程式 $x^{2}+2px+q=0$ が実数解を持つ条件を考えます。

$x$ の2次方程式 $x^{2}+2px+q=0$ の判別式を $D$ とすると

$D/4=p^{2}-q$

となります。

2次方程式が実数解を持つ条件は $D\geqq 0$ ですので、 $p^{2}-q\geqq 0$ が条件となります。

そのうえで、次の2つの命題を考えます。

・ $2p^{2}\geqq q$ ならば $x^{2}+2px+q=0$ が実数解を持つ

・ $x^{2}+2px+q=0$ が実数解を持つならば $2p^{2}\geqq q$ が成り立つ

前者の命題については、 $p=2,\ q=5$ とすると、 $2p^{2}=8$ ですので $2p^{2}\geqq q$ が成り立っています。

ところが、 $x^{2}+4x+5=0$ の判別式を $D_{1}$ とすると

$D_{1}=4^{2}-4\times 5=-4\lt 0$

となりますので、2次方程式は実数解を持ちません。

これが反例となりますので、この命題は偽の命題になります。

後者の命題については、2次方程式が実数解を持ちますので $q^{2}-p\geqq 0$ すなわち $p^{2}\geqq q$ が仮定になります。

$p^{2}\geqq 0$ ですので $2p^{2}\geqq p^{2}$ が成り立ちます。

したがって、 $2p^{2}\geqq q$ が成り立つことが言えますので、この命題は真の命題になります。

以上から、 $2p^{2}\geqq q$ であることは、 $x$ の2次方程式 $x^{2}+2px+q=0$ が実数解を持つための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

しっかりと命題を立てて、真偽を確かめていけば解ける問題でした。

(2)の問題は2次方程式に関しての知識を理解しておかないと難しいかもしれません。

必要条件・十分条件の問題を解く前に基本事項を確かめておくと良いです。

　

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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