マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2007年前期日程第4問】

微分積分入試問題

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今週は2007年・2008年の首都大学東京の問題です。

今回は2007年文系学部前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

2つの放物線で囲まれる部分の面積の最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

2つの曲線が共有点を持つかどうかの判別は、得られる方程式の実数解の個数を調べれば良いですが、得られた方程式が2次方程式であれば判別式を使います。

放物線 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の $x$ 座標は、方程式

$x^{2}=-(x-a)^{2}+1$

の実数解となります。この方程式を整理すると $2x^{2}-2ax+a^{2}-1=0$ …①ですので、この方程式の判別式を $D$ とすると

$D=-a^{2}+2$

となります。2次方程式が実数解を持つ条件は $D\geqq 0$ ですので、この不等式を解くと $-\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{2}$ となります。

以後、 $a$ がこの範囲内にあるときを考えます。

2次方程式①を解くと $\displaystyle x=\frac{a\pm \sqrt{-a^{2}+2}}{2}$ となります。

この解のうち、小さい方を $\alpha$ 、大きい方を $\beta$ とすると

$\displaystyle \beta -\alpha =\sqrt{-a^{2}+2}$

となります。したがって、2つの放物線で囲まれる部分の面積 $S(a)$ は

$\displaystyle S(a)=\int_{\alpha }^{\beta }(-2x^{2}+2ax-a^{2}+1)dx$

$\displaystyle =\frac{2}{6}(\beta -\alpha )^{3}=\frac{1}{3}(-a^{2}+2)^{\frac{3}{2}}$

となります。よって $S(a)$ は $a=0$ のとき最大値 $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$ をとることがわかります。

いかがだったでしょうか？

首都大学東京の問題の中で比較的易しい問題でした。

2つの放物線の交点の個数の判別や面積を求める問題は入試問題ではよく出題されますのでマークしておくべき問題です。

特に微分積分の問題は出題範囲内であれば必ず出ますので、この単元の問題は網羅しておきたいところです。

　

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