2次方程式の問題ver.20220615 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は教員採用試験で出題された総合問題です。

今回は静岡県・静岡市教員採用試験で出題された2次方程式に関する問題です。

難易度は☆☆☆☆です。

一部数学Ⅲの内容を含みます。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

(1)実数解の判別は判別式の符号を調べます。

2次方程式が実数解を持つ条件は判別式の値が $0$ 以上であれば良いので、 $x^{2}+2mx+2m+3=0$ の判別式を $D$ とすると

$D/4=m^{2}-(2m+3)=m^{2}-2m-3\geqq 0$

この不等式の解が今回の2次方程式が実数解を持つような $m$ の値の範囲になります。

(2)方程式を $m$ について解くと $\displaystyle m=-\frac{x^{2}+3}{2x+2}$ となります。

下の図は $\displaystyle y=-\frac{x^{2}+3}{2x+2}$ のグラフと、青い部分は $y\leqq -2$ の部分になります。

直線 $y=m$ は $m$ の値に応じて青い部分を動きますが、その直線とグラフとの交点の $x$ 座標が方程式の解となります。

その $x$ のとりうる値の範囲は、上端の直線が境目になりますのでその直線とグラフとの交点の $x$ 座標を求めれば良いということになります。

黒い点線はグラフの漸近線ですが、この線にも注意してください。

後半が面倒に感じましたが、仕方ないですね。

分数関数が出てくると少し嫌気が出てきます。

もっと良い方法はないかなぁと考えてしまいますね。ありますでしょうか？

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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