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今週は徳島県教員採用試験+神戸市教員採用試験の問題です。
今回は徳島県教員採用試験で出題された図形と方程式の問題です。
今回の問題について
難易度は☆☆☆です。
円と直線に関する基礎的な問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
(1)円と直線の交点は、連立方程式の実数解で与えられます。
直線の式を円の方程式の方に代入して整理すると
となります。このについての2次方程式が異なる2つの実数解を持てば良いので、この方程式の判別式をとすると、が条件となります。
となりますので、についての2次不等式の解が求めるべきの値の範囲になります。
(2)円の中心をとすると、円の方程式はと変形できますので、点の座標はとなります。
点と直線の距離を次の2通りで求めることを考えてみます。
・図形的な性質を使って求める
・点と直線の距離の公式を用いて求める
下の画像は参考図で、青い曲線は円、赤い2本の曲線はこの問題に合うような直線で、点は円の中心、点から黒い点線の直線と赤い直線の交点までの距離が今から求める点と直線の長さになります。
まずは前者の方針で考えてみます。
条件からで、円の方程式から、円の半径は3ですのでであることがわかります。
は二等辺三角形なので、点から直線に垂線(図の黒い点線)を下ろすと、黒い点線は線分の中点を通ります。
三平方の定理を用いると、点から直線の距離はになります。
後者の方針で求めてみると、直線の方程式はですので、点とこの直線との距離をとすると
となります。前者の方針からですので、の満たすべき条件は
ということになります。あとはこの方程式を解けば良いだけです。
いかがだったでしょうか?
曲線と直線の交点の個数の判別、点と直線の距離をうまく使えるかどうかを問う問題だったのではないでしょうか。
大学入試では基礎的な問題となりますので、解けておくべき問題ではないかと思います。
しかし、最後の問題は答えがきれいに整数値になってますが、どうやって問題を作っているのでしょうか?
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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