マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題ver.20220707

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今週は徳島県教員採用試験+神戸市教員採用試験の問題です。

今回は徳島県教員採用試験で出題された図形と方程式の問題です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

円と直線に関する基礎的な問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)円と直線の交点は、連立方程式 \left\{ \begin{array}{ccc}x^{2}+y^{2}-4x-5&=&0\\ y&=&2x+k\end{array} \right.の実数解で与えられます。

直線の式を円の方程式の方に代入して整理すると

 x^{2}+2(2k-2)x+k^{2}-5=0

となります。この xについての2次方程式が異なる2つの実数解を持てば良いので、この方程式の判別式を Dとすると、 D>0が条件となります。

 D/4=-k^{2}-8k+29

となりますので、 kについての2次不等式 D/4>0の解が求めるべき kの値の範囲になります。

(2)円の中心を Cとすると、円の方程式は (x-2)^{2}+y^{2}=9と変形できますので、点 Cの座標は (2,0)となります。

 Cと直線 PQの距離を次の2通りで求めることを考えてみます。

・図形的な性質を使って求める

・点と直線の距離の公式を用いて求める

下の画像は参考図で、青い曲線は円、赤い2本の曲線はこの問題に合うような直線で、点 Cは円の中心、点 Cから黒い点線の直線と赤い直線の交点までの距離が今から求める点 Cと直線 PQの長さになります。

まずは前者の方針で考えてみます。

条件から PQ=4で、円の方程式から、円の半径は3ですので CP=CQ=3であることがわかります。

 \triangle CPQ二等辺三角形なので、点 Cから直線 PQに垂線(図の黒い点線)を下ろすと、黒い点線は線分 PQの中点を通ります。

三平方の定理を用いると、点 Cから直線 PQの距離は \sqrt{5}になります。

後者の方針で求めてみると、直線 PQの方程式は 2x-y+k=0ですので、点 Cとこの直線との距離を dとすると

 \displaystyle d=\frac{|2\cdot 2-0+k|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}

となります。前者の方針から d=\sqrt{5}ですので、 kの満たすべき条件は

 |4+k|=5

ということになります。あとはこの方程式を解けば良いだけです。

いかがだったでしょうか?

曲線と直線の交点の個数の判別、点と直線の距離をうまく使えるかどうかを問う問題だったのではないでしょうか。

大学入試では基礎的な問題となりますので、解けておくべき問題ではないかと思います。

しかし、最後の問題は答えがきれいに整数値になってますが、どうやって問題を作っているのでしょうか?

 

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