マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2007年前期日程第3問】

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今週は首都大学東京の2007年・2008年の問題です。

今回は2007年文系学部前期日程第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

多項式で割った余りから整式を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

 P(x) x^{2}+2x+1で割った余りが 5x-2ですので、商を Q_{1}(x)とおくと

 P(x)=(x^{2}+2x+1)Q_{1}(x)+5x-2

と書くことができます。 x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}ですので、この式から P(-1)=-7であることがわかります。

また、 P(x) x^{2}-3x+2で割った余りが 2x+1ですので、商を Q_{2}(x)とおくと

 P(x)=(x^{2}-3x+2)Q_{2}(x)+2x+1

と書くことができます。 x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)ですので、この式から P(1)=3,\ P(2)=5であることがわかります。

 P(x)を2次式 x^{2}-x-2で割った余りは、1次以下の多項式ですので ax+bとおきます。

 x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)ですので、 P(-1)=-7,\ P(2)=5であることより、次の連立方程式が成り立ちます。

 \left\{ \begin{array}{ccc} -a+b&=&-7\\ 2a+b&=&5\end{array}\right.

この連立方程式を解くと a=4,\ b=-3となりますので、 P(x) x^{2}-x-2で割った余りは 4x-3となります。

 P(x)が4次式で xで割り切れるとき

 P(x)=(x+1)^{2}(cx^{2}+dx+e)+5x-2

とおくと、 xで割り切れますので、 P(0)=0です。

したがって、 P(0)=0,\ P(1)=3,\ P(2)=5であることから、次の連立方程式が成り立ちます。

 \left\{ \begin{array}{ccc}e-2&=&0\\ 4c+4d+4e+3&=&3\\ 36c+18d+9e+8&=&5\end{array}\right.

この連立方程式を解くと \displaystyle c=\frac{5}{6},\ d=-\frac{17}{6},\ e=2となりますので、この数値を元の式に代入して計算していくと

 \displaystyle P(x)=\frac{5x^{4}-7x^{3}-17x^{2}+37x}{6}

となります。

いかがだったでしょうか?

今回の問題は整式を2次式で割ったときの余りから整式を求める問題でした。

このタイプの問題は剰余の定理を用いると解くことができます。

問題文のヒントから P(x)を表現していくことが重要です。

最後の計算が大変ですが、入試問題ではこのような計算は日常茶飯事ですので慣れておいたほうが良いです。

 

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