首都大学東京の問題【2007年前期日程第1問・第2問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今週は首都大学東京2007年・2008年の問題です。

今回は2007年文系学部前期日程第1問と第2問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

さいころ投げの問題と条件が与えられたときの最大値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)前半は確率の問題です。

2次方程式が実数解を持つ条件は判別式が0以上のときですので、今回の問題に当てはめますと $A^{2}-4B\geqq 0$ が条件となります。

これを考慮に入れて、さいころの出目と解の関係を表にしたものが次です。（横がB、縦がAとします）

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&×&×&×&×&×&×\\ \hline 2&1,1&×&×&×&×&×\\ \hline 3&\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{5}}{2}&1,2&×&×&×&×\\ \hline 4&2\pm \sqrt{5}&2\pm \sqrt{2}&1,3&2,2&×&×\\ \hline 5&\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{21}}{2}&\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{17}}{2}&\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{13}}{2}&1,4&\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{5}}{2}&2,3\\ \hline 6&3\pm 2\sqrt{2}&3\pm \sqrt{7}&3\pm \sqrt{6}&3\pm \sqrt{5}&1,5&3\pm \sqrt{3}\\ \hline \end{array}$

この表から、解が異なる2つの実数でそれらの解の差が1である確率は $\displaystyle \frac{2}{36}=\frac{1}{18}$ 、解が異なる2つの実数でそれらの差が自然数である確率は $\displaystyle \frac{5}{36}$ 、解のうち少なくとも一方が3より大きい実数となる確率は $\displaystyle \frac{13}{36}$ となります。

(2)最大を求めるために、関数を1種類の文字で表せないかを考えます。

2種類以上の文字の最大値を求めることは可能ですが、その際には偏微分を用いる必要があり、この内容が大学入試出題範囲外です。

ですので、「極力、1文字の関数で表す」という方針で解いて問題はないかと思います。

条件 $\left\{ \begin{array}{ccc} x+y+z&=&12\\ 5x-3z&=&0\end{array}\right.$ を $y,\ z$ の連立方程式とみて $y$ と $z$ を $x$ で表すと

$\displaystyle y=12-\frac{8}{3}x,\ z=\frac{5}{3}x$

です。条件 $y\gt 0$ より $\displaystyle x\gt \frac{9}{2}$ となりますので、 $x$ の取りうる値の範囲は $\displaystyle 0\lt x\lt \frac{9}{2}$ になります。

これより、積 $xyz$ を $x$ で表した関数を $f(x)$ とすると

$\displaystyle f(x)=-\frac{40}{9}x^{3}+20x^{2}$

となります。この関数は3次関数ですので、最大を求めるためには導関数を求めて関数の増減を調べておく必要があります。

導関数は $\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{40}{3}x^{2}+40x(=-\frac{40}{3}x(x-3))$ ですので、 $f(x)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&0&\cdots &3&\cdots &\displaystyle \frac{9}{2}\\ \hline f^{\prime }(x)&&+&0&-&\\ \hline f(x)&&\nearrow &60&\searrow &\\ \hline \end{array}$