マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2006年中高共通第4問】

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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通問題第4問です。

今回の問題の原文

関数 y=x^{4}-3x^{2}+1のグラフ上を動く点 Pがあり、点 Pにおける接線が y軸と交わる点を Qとする。点 P x座標を t、点 Q y座標を qとするとき、次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。

(1) q tを用いて表しなさい。

(2) qのとりうる値の範囲を求めなさい。

(3) y軸上の点 R(0,r)からこの関数のグラフに接線が4本引けるとき、 rのとりうる値の範囲を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

グラフ上にはない点を通る接線の本数に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関数 y=f(x)上の点 (t,f(t))における接線の方程式は、 f(x)導関数 f^{\prime }(x)とすると

 y=f^{\prime }(t)(x-t)+f(t)

となります。今回の問題に当てはめると、 y導関数 y^{\prime }=4x^{3}-6xですので

 y=(4t^{3}-6t)(x-t)+t^{4}-3t^{2}+1

となります。この式を展開して整理すると

 y=(4t^{3}-6t)x-3t^{4}+3t^{2}+1

となりますので q=-3t^{4}+3t^{2}+1となります。 qのとりうる値の範囲は、これを tの関数と考えて求めます。

 \frac{dq}{dt}=-12t^{3}+6t=-6t(\sqrt{2}t-1)(\sqrt{2}t+1)

となりますので、 qの増減表は以下のようになります。

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline t&\cdots &\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{2}}&\cdots &0&\cdots &\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}&\cdots \\ \hline \displaystyle \frac{dq}{dt}&+&0&-&0&+&0&-\\ \hline q&\nearrow &\displaystyle \frac{7}{4}&\searrow &1&\nearrow &\displaystyle \frac{7}{4}&\searrow \\ \hline \end{array}

この増減表から、 qのとりうる値の範囲は \displaystyle q\leqq \frac{7}{4}であることがわかります。

関数 y=x^{4}-3x^{2}+1上の点 Pにおける接線が点 R(0,r)を通るとき

 r=-3t^{4}+3t^{2}+1

が成り立ちます。この方程式の実数解の個数が接線の本数になりますが、先ほどの増減表を用いて考えるか、増減表を使って以下のようなグラフを作って考えてみます。

グラフで考える場合は、このグラフと x軸に平行な直線を引いて、その直線との交点の個数を数えます。その交点の個数が4個となるような値の範囲が求める rの値の範囲です。答えは \displaystyle 1\lt r\lt \frac{7}{4}です。

いかがだったでしょうか?

ポイントは接線の方程式を使えるかどうかと、どれをどの関数として捉えるかというところになるかと思います。

最大・最小の問題は関数の増減を調べるのが一番良い方法です。

3次以上の多項式の関数の場合は導関数を求めて符号を調べればわかりますので、導関数は求められるようにしておきたいです。

 

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