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今週は2006年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。
今回は中高共通問題第4問です。
今回の問題の原文
関数のグラフ上を動く点があり、点における接線が軸と交わる点をとする。点の座標を、点の座標をとするとき、次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。
(1)をを用いて表しなさい。
(2)のとりうる値の範囲を求めなさい。
(3)軸上の点からこの関数のグラフに接線が4本引けるとき、のとりうる値の範囲を求めなさい。
今回の問題について
難易度は☆☆☆☆です。
グラフ上にはない点を通る接線の本数に関する問題です。
難易度表記については以下の記事をご参照ください。
red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com
今回の問題の解説
関数上の点における接線の方程式は、の導関数をとすると
となります。今回の問題に当てはめると、の導関数がですので
となります。この式を展開して整理すると
となりますのでとなります。のとりうる値の範囲は、これをの関数と考えて求めます。
となりますので、の増減表は以下のようになります。
この増減表から、のとりうる値の範囲はであることがわかります。
関数上の点における接線が点を通るとき
が成り立ちます。この方程式の実数解の個数が接線の本数になりますが、先ほどの増減表を用いて考えるか、増減表を使って以下のようなグラフを作って考えてみます。
グラフで考える場合は、このグラフと軸に平行な直線を引いて、その直線との交点の個数を数えます。その交点の個数が4個となるような値の範囲が求めるの値の範囲です。答えはです。
いかがだったでしょうか?
ポイントは接線の方程式を使えるかどうかと、どれをどの関数として捉えるかというところになるかと思います。
最大・最小の問題は関数の増減を調べるのが一番良い方法です。
3次以上の多項式の関数の場合は導関数を求めて符号を調べればわかりますので、導関数は求められるようにしておきたいです。
それでは!またのお越しをお待ちしております!(^^)/
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