マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

首都大学東京の問題【2006年前期日程第4問】

微分積分入試問題

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今週は首都大学東京2005年・2006年の問題です。

今回は2006年前期日程第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

平行四辺形からできた六角形の面積に関する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

六角形 $PQBP^{\prime }Q^{\prime }D$ の面積は、平行四辺形 $ABCD$ の面積から $\triangle APQ$ の面積と $\triangle CP^{\prime }Q^{\prime }$ の面積の和を引けば求められます。

なので、平行四辺形 $ABCD$ の面積と $\triangle APQ$ の面積と $\triangle CP^{\prime }Q^{\prime }$ を求めておきます。

$\triangle ABD$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle \cos{\angle DAB}=\frac{1}{5}$

となりますので、三角関数の相互関係より $\displaystyle \sin{\angle DAB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$ となります。

よって、平行四辺形 $ABCD$ の面積は

$AD\times AB\times \sin{\angle DAB}=12\sqrt{6}$

となります。

平行性変形の性質として「向かい合う角の大きさが等しい」というものがあります。

この性質を用いると $\sin{\angle DAB}=\sin{\angle BCD}$ となります。

また、 $AB//PP^{\prime }//DC$ なので、 $AP=5t$ とするとき

$AQ=6t,\ CP^{\prime }=5-5t,\ CQ^{\prime }=6-6t$

となります。したがって、 $\triangle APQ$ の面積と $\triangle P^{\prime }Q^{\prime }C$ の面積は

$\displaystyle \triangle APQ=\frac{1}{2}\times AP\times AQ=6\sqrt{6}t^{2}$

$\displaystyle \triangle P^{\prime }Q^{\prime }C=\frac{1}{2}\times CP^{\prime }\times CQ^{\prime }=6\sqrt{6}(1-t)^{2}$

となります。

よって、六角形 $PQBP^{\prime }Q^{\prime }D$ の面積 $S(t)$ は

$S(t)=12\sqrt{6}-6\sqrt{6}t^{2}-6\sqrt{6}(1-t)^{2}$

$=-12\sqrt{6}t^{2}+12\sqrt{6}t+6\sqrt{6}$

となります。

これを $0\leqq t\leqq 1$ の区間で積分して最後の値を求めます。（ $8\sqrt{6}$ になります。）

いかがだったでしょうか？

積分のところまで行きつけば簡単かと思いますが、そこまでの準備が少し大変です。

六角形の面積は直接面積を求める公式がありませんので三角形や四角形に分けたり、見つけたりしていくことが良い方法かもしれません。

今回の問題では、六角形が平行四辺形の中にありますので、平行四辺形からいらない部分の三角形の面積を除けば求めることができます。

三角形の面積や平行四辺形の面積を求めるには底辺と高さの値が必要ですが、三角関数を使えば求めることができます。

　

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