マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第4問】

微分積分教員採用試験の過去問

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

$x=0$ で極大値 $0$ をとり、 $x=\pm 1$ で極小値 $-1$ をとる4次関数を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

極値から4次関数を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

極値の条件が与えられていますので、導関数を求めておく必要があります。求める関数を $y=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$ とおくと、導関数は

$y^{\prime }=4ax^{3}+3bx^{2}+2cx+d$

となります。 $x=0$ のとき極大値 $0$ をとりますので、この条件から $d=e=0$ が導かれます。他の条件から残りの $a,\ b,\ c$ の値を求めます。 $x=-1$ のとき極小値 $-1$ をとるので

$\left\{ \begin{array}{ccc} a-b+c&=&-1\\ -4a+3b-2c&=&0\end{array}\right.$

また、 $x=1$ のとき極小値 $-1$ をとるので

$\left\{ \begin{array}{ccc} a+b+c&=&-1\\ 4a+3b+2c&=&0\end{array}\right.$

この4式の連立方程式を解くと $a=1,\ b=0,\ c=-2$ となりますので、求める4次関数は $y=x^{4}-2x^{2}$ となります。

ちなみにこの関数は $y^{\prime }=4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)$ となりますので、 $y=x^{4}-2x^{2}$ の増減は

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &-1&\cdots &0&\cdots &1&\cdots \\ \hline y^{\prime }&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline y&\searrow &-1&\nearrow &0&\searrow &-1&\nearrow \\ \hline \end{array}$

となり、ちゃんと条件を満たしています。

いかがだったでしょうか？

極値から関数を求める問題でした。

条件が3つに見えますが、極値を取るということから導関数の値が0であることが隠れています。

これと合わせると条件は6個になります。

条件を隅々まで洗い出すことがポイントになりそうです。

　

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