マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2019年1日目第4問】

微分積分入試問題

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今週は東京女子大学2019年の問題です。

今回は文系学部1日目第4問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

絶対値を含む方程式の実数解の判別の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

まずは $f(x)=x^{3}-5x^{2}+3x$ の増減を調べます。

微分して導関数を求めると $f^{\prime }(x)=3x^{2}-10x+3=(3x-1)(x-3)$ ですので、 $f(x)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &\displaystyle \frac{1}{3}&\cdots &3&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow &\displaystyle \frac{13}{27}&\searrow &-9&\nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって、この増減表から $\displaystyle x=\frac{1}{3}$ のとき極大値 $\displaystyle \frac{13}{27}$ 、 $x=3$ のとき極小値 $-9$ であることがわかります。

また、 $f(x)=0$ を解くと

$x^{3}-5x^{2}+3x=0$

$x(x^{2}-5x+3)=0$

ですので、解は $\displaystyle x=0,\ \frac{5\pm \sqrt{13}}{2}$ となります。

ここまでが $y=|x^{3}-5x^{2}+3x|$ のグラフを描く準備です。

グラフは以下のようになります。

上のグラフと直線 $y=k$ との交点が4点となるような $k$ の値の範囲を求めれば、この問題は解決されます。

グラフと増減表より $\displaystyle \frac{13}{27}\lt k\lt 9$ が求めるべき $k$ の値の範囲です。

いかがだったでしょうか？

絶対値記号が含まれているので少し難しいかもしれません。

グラフについては、値が負になっているところを $x$ 軸で折り返せば描くことができます。

方程式の実数解の個数の判別はグラフを使えば簡単に行うことができますが、 $|x^{3}-5x^{2}+3x|=k$ を

$\left\{ \begin{array}{ccc} y&=&|x^{3}-5x^{2}+3x|\\ y&=&k\end{array} \right.$

という連立方程式に考えるところが最も難しいところではないかと思います。

　

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