徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第3問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2011年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第3問です。

今回の問題の原文

$n$ を自然数とするとき、次の等式を証明しなさい。

$\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

和の公式を証明する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

証明問題には仮定と結論がありますので、それに注意深く解いていかなければいけません。元の問題は等式を証明する問題となっていますが、3パターンの証明を用意してみました。このうち1つが誤りを含んでいますので、それ以外を解答すれば大丈夫です。1つずつ考察していこうと思います。

証明1について

今回の等式の証明でよく用いられるのが数学的帰納法です。この証明法は自然数に関する命題で用いられることが多いです。数学的帰納法の証明の手順は

⒈ $n=1$ のとき成り立つことを確認する。

⒉ $n=k$ のとき成り立つことを仮定して $n=k+1$ のとき成り立つことを証明する。

となります。これを示すことができれば、自然数 $n$ について命題が成り立つことがいえます。

証明2について

恒等式を用いて証明していく方法です。証明1では結果がわかっていること前提での証明ですが、この証明は結果がわかっていないこと前提での証明で使えそうです。今回の問題の場合は結果が見えてますので、証明1の方法で証明するのが普通ですが、こちらの方法で証明しても問題は無いです。

証明3について

等式の証明法を用いて証明する方法です。等式の証明は

・右辺を変形して左辺と等しくなることを示す。

・右辺と左辺をそれぞれ変形して等しい式になることを示す。

・(右辺)-(左辺)=0であることを証明する。

のいずれかを行えば良いです。今回の証明は $\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ が正しいことが結論ですので、和の公式 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を使うことは誤りです。