マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

徳島県教員採用試験の問題【2009年中高共通第4問】

微分積分教員採用試験の過去問

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今週は2009年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第4問です。

今回の問題の原文

$a\gt 0$ である定数 $a$ に対して、 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}t(3t-2a)dt$ とおく。関数 $f(x)$ の増減を調べ、極値を求めなさい。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

積分で表された関数の極値を求める問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

関数の増減を調べるときは、導関数の符号を調べます。導関数の符号が正であれば増加、負であれば減少です。

導関数を求めると、 $f^{\prime }(x)=x(3x-2a)$ です。 $a\gt 0$ であることから、 $\displaystyle x\leqq 0,\ \frac{2}{3}a\leqq x$ のとき $f^{\prime }(x)\geqq 0$ 、 $\displaystyle 0\lt x\lt \frac{2}{3}a$ のとき $f^{\prime }(x)\gt 0$ です。また

$\displaystyle f(x)=\left[ t^{3}-at^{2}\right] _{0}^{x}=x^{3}-ax^{2}$

となりますので、関数 $f(x)$ の増減は次のようになります。

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c}\hline x&\cdots &0&\cdots &\displaystyle \frac{2}{3}a&\cdots \\ \hline f^{\prime }(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow &0&\searrow &\displaystyle -\frac{4}{27}a^{3}&\nearrow \\ \hline \end{array}$

したがって、関数 $f(x)$ は $x=0$ のとき極大値 $0$ 、 $\displaystyle x=\frac{2}{3}a$ のとき極小値 $\displaystyle -\frac{4}{27}a^{3}$ をとります。

いかがだったでしょうか？

極値を求める基礎的な問題でした。

極値を求める手順は「導関数を求める」→「導関数の符号を調べる」→「増減表を書く」です。

係数に文字式が含まれていても手順は同じです。

　

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