マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京女子大学の問題【2017年1日目第3問】

図形と計量・図形の性質入試問題

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今週は東京女子大学2017年の問題です。

今回は文系学部1日目の第3問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆☆です。

三角関数の最小値を求める問題です。三角関数の微分は使いません。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

$\triangle OBD$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle BD^{2}=x^{2}+1-2\cdot x\cdot 1\cdot \frac{1}{2}$

$=x^{2}-x+1$

$\triangle OBD\equiv \triangle OCD$ ですので $BD=CD$ であることがわかります。

したがって、 $\triangle BCD$ に余弦定理を用いると

$\displaystyle \cos{\angle BDC}=\frac{2\BD^{2}-1}{2BD^{2}}$

$\displaystyle =1-\frac{2x^{2}-2x+2}$

であることが求められます。

この値が最小となるような $x$ を求めるのですが、ここは $f(x)=2x^{2}-2x+2$ とおいて、この関数が最小となる $x$ を求めます。

$f(x)$ が最小となれば $\cos{\angle BDC}$ の値も最小となります。

$f(x)$ の最小値は、この関数が2次関数であることから平方完成によって求めることができます。

導関数を求めて極値を求めても良いです。

ここでは平方完成で求めてみます。

$\displaystyle f(x)=2\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}+\frac{3}{2}$

となりますので、 $f(x)$ は $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{3}{2}$ をとります。

したがって、 $\cos{\angle BDC}$ は $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\displaystyle \frac{1}{3}$ をとります。

いかがだったでしょうか？

前半の $\cos{\angle BDC}$ を求めるところまでは易しい問題だったと思います。

後半の $\cos{\angle BDC}$ の最小値を求めるのが少し難しいかもしれません。

この類の問題は入試問題では出てくることがありますのでチェックしておきたい問題です。

　

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