マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【0に゙収束する数列と無限級数】

数列必要条件・十分条件

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

次の条件 $p,\ q$ を考える

$\displaystyle p:\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ が収束する

$\displaystyle q:\lim_{n\to \infty }a_{n}=0$

このとき、 $p$ は $q$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちどれが適するか。

今回の問題について

今回は数学Ⅲの分野で注意すべき必要条件・十分条件の問題です。

必要十分条件のように思えますが、そうではないので要注意です。

今回の問題の解説

命題 $p\Longrightarrow q$ を考えます。

条件 $p$ より $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{n}$ とし、 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }S_{n}=S$ とおきます。

このとき、 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ なので

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty }a_{n}&=&\lim_{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})\\ &=&\lim_{n\to \infty }S_{n}-\lim_{n\to \infty }S_{n-1}\\ &=&S-S\\ &=&0\end{eqnarray*}$

したがって、この命題は真です。

命題 $q\Longrightarrow p$ を考えます。

上の図の赤いグラフは $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ です。

また、紫色の部分の面積は $\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ となっています。

したがって、次のことが考えられます。

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\gt \int_{1}^{n+1}\frac{dx}{x}$

ここで

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{n}\frac{dx}{x}&=&\left[ \log{|x|}\right] _{1}^{n+1}\\ &=&\log{(n+1)}\end{eqnarray*}$

であるので

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\gt \log{(n+1)}$

が成り立ちます。

この不等式から、 $n\to \infty$ のとき $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\log{(n+1)}=+\infty$ ですので $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ は発散することがわかります。

ところが、 $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ ですので、これがこの命題の反例となります。

したがって、この命題は偽です。

以上から、 $p$ は $q$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

数学Ⅲの分野でも色んな定理が出てきますが、必ずしも必要十分条件ではないです。

その一つとして、今回の0に収束する数列と無限級数が収束する数列の関係があります。

無限級数が収束する場合は、その級数の項で作られる数列は $0$ に収束しますが、 $0$ に゙収束する数列の無限級数は必ずしも収束しないことに注意が必要です。

　

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