必要条件・十分条件の問題【2022年常葉大学一般入試前期日程2日目】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1)実数 $x$ が $x^{2}-5x+6=0$ を満たすことは $x^{2}-11x+9\lt 0$ を満たすための（　）

(2) $0^{\circ }\lt \theta \lt 180^{\circ }$ とする。 $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}$ であることは $\displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2022年常葉大学一般入試2日目で出題された問題です。

今回は数学Ⅰ・Aの知識だけで解けそうです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

方程式と不等式が与えられていますので、とりあえずそれらを解いてみます。

方程式 $x^{2}-5x+6=0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} x^{2}-5x+6&=&0\\ (x-2)(x-3)&=&0\end{eqnarray*}$

となりますので、この方程式の解は $x=2,\ x=3$ となります。

不等式 $2x^{2}-11x+9\lt 0$ を解くと

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}-11x+9&\lt &0\\ (2x-9)(x-1)&\lt &0\end{eqnarray*}$

となりますので、この不等式の解は $\displaystyle 1\lt x\lt \frac{9}{2}$ となります。

上の方程式の解全体の集合を $P$ 、不等式の解全体の集合を $Q$ とすると

$\displaystyle P=\{ 2,\ 3\}\ ,\ Q=\left\{ x|1\lt x\lt \frac{9}{2}\right\}$

となります。ここで、集合 $P$ の要素に注目すると $2\in Q,\ 3\in Q$ が言えますので、包含関係 $P\subset Q$ が成り立つことがわかります。

したがって、実数 $x$ が $x^{2}-5x+6=0$ を満たすことは $2x^{2}-11x+9\lt 0$ を満たすための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

前提条件は $0^{\circ }\lt \theta \lt 180^{\circ }$ です。

このとき、 $\sin{\theta }\gt 0$ であることに注意します。

この条件下で以下の命題の真偽を調べます。

(i) $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}\Longrightarrow \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

(ii) $\displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow \sin{\theta }=\frac{1}{2}$

命題(i)について、 $\theta =150^{\circ }$ のとき $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}$ を満たしますが、 $\displaystyle \cos{\theta }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ですので、結論の $\displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たしていません。

したがって、命題(i)は偽となります。

命題(ii)について、前提条件と三角比の相互関係から

$\begin{eqnarray*} \sin{\theta }&=&\sqrt{1-\cos^{2}{\theta }}\\ &=&\sqrt{1-\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ^{2}}\\ &=&\sqrt{1-\frac{3}{4}}\\ &=&\sqrt{\frac{1}{4}}\\ &=&\frac{1}{2}\end{eqnarray*}$

となりますので、この命題は真となります。

以上から、 $\displaystyle \sin{\theta }=\frac{1}{2}$ であることは $\displaystyle \cos{\theta }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

方程式・不等式に関する問題は一度解いてみると解答が出やすいです。

その後は集合で表して包含関係を見てみるといった手順になるかと思います。

ですので、集合と必要条件・十分条件の項目はとても重要です。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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