マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件【２次方程式とその解】

数と式必要条件・十分条件大学入試対策

ご訪問ありがとうございます！

解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

次の３つの条件を考える。

$p:x^{2}-3x+2=0$

$q:x=1$

$r:x=2$

次の（　）の中には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。

(1) $p$ は $q$ であるための（　）

(2) $p$ は $r$ であるための（　）

(3) $p$ は「 $q$ または $r$ 」であるための（　）

今回の問題について

2次方程式とその解に関する必要条件・十分条件の問題です。

入試でも頻出で要注意な問題です。集合で考えてみるのもいいかと思いますので、今回は集合を用いて考えてみようかと思います。

今回の問題の解説

集合を用いて考える場合

$x$ の2次方程式 $x^{2}-3x+2=0$ を解くと

$x=1,\ x=2$

となります。したがって、条件 $P$ を満たす $x$ 全体の集合を $P$ 、条件 $q$ を満たす $x$ 全体の集合を $Q$ 、条件 $r$ を満たす $x$ 全体の集合を $R$ とすると

$P=\{ 1,\ 2\} ,\ Q=\{ 1\} ,\ R=\{ 2\}$

となりますので、次の包含関係が成り立ちます。

$Q\subset P,\ R\subset P,\ P=Q\cup R$

この包含関係から

(1) $p$ は $q$ であるための必要条件

(2) $p$ は $r$ であるための必要条件

(3) $p$ は $q$ または $r$ であるための必要十分条件

であることがわかります。

命題の真偽を調べる場合

(1) $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

条件 $p$ を満たす実数 $x$ は、 $x$ の2次方程式 $x^{2}-3x+2=0$ を解くと $x=1,\ x=2$ となりますので、反例が $x=2$ ということになります。

よって、この命題は偽であることがわかります。

$q\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$x^{2}-3x+2$ に $x=1$ を代入すると、値が $0$ となりますので、 $x=1$ のとき $x^{2}-3x+2=0$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真であることがわかります。

以上から $p$ は $q$ であるための必要条件であるが十分条件ではないということになります。

(2) $p\Longrightarrow r$ の真偽を調べます。

条件 $p$ を満たす実数 $x$ は、 $x$ の2次方程式 $x^{2}-3x+2=0$ を解くと $x=1,\ x=2$ となりますので、反例が $x=1$ ということになります。

よって、この命題は偽であることがわかります。

$r\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$x^{2}-3x+2$ に $x=2$ を代入すると

$\begin{eqnarray*} x^{2}-3x+2&=&2^{2}-3\times 2+2\\ &=&4-6+2\\ &=&0 \end{eqnarray*}$

となり、値が $0$ となりますので、 $x=2$ のとき $x^{2}-3x+2=0$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真であることがわかります。

以上から $p$ は $r$ であるための必要条件であるが十分条件ではないということになります。

(3) $p\Longrightarrow qまたはr$ の真偽を調べます。

条件 $p$ を満たす $x$ は、 $x$ の方程式 $x^{2}-3x+2=0$ を解くと $x=1$ または $x=2$ となりますので、この命題は真であることがわかります。

$qまたはr\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$x=1$ もしくは $x=2$ を $x^{2}-3x+2$ に代入すると、いずれの場合も値が $0$ となりますので、 $x=1$ 、 $x=2$ のとき $x^{2}-3x+2=0$ が成り立ちます。

したがって、この命題は真です。

以上から $p$ は $q$ または $r$ であるための必要十分条件であることがわかります。

いかがだったでしょうか？

今回の問題は２次方程式の解と条件に関する問題でした。

「必要条件」、「十分条件」という用語をいかに理解できているかがカギになります。

十分に理解できていないと、この類の問題は「必要十分条件」と答えそうになりますので要注意です。

騙されないように命題をしっかり作って真偽を調べることが大事ですね。

　

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