必要条件・十分条件【因数分解】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

(1) $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ を展開せよ。

(2) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ は $a+b+c=0$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」「必要条件でも十分条件でもない」のいずれか適切なものを解答せよ。

今回の問題について

式の展開・因数分解と必要条件・十分条件の融合問題があまり見かけませんでしたので、作ってみました。

展開・因数分解の公式で

$(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

というものを問題集ではよく見かけます。

入試問題や教員採用試験の過去問ではあまり見かけませんが、せっかくなのでこの公式に主役になっていただきました。

今回の問題のポイントはこの公式を使って問題を解けるかどうか、というところになります。

今回の問題の解説

(1)の問題の解説

計算により求められます。

$\begin{eqnarray*} (与式)&=&a^{3}+ab^{2}+c^{2}a-a^{2}b-abc-ca^{2}+a^{2}b+b^{3}+bc^{2}-ab^{2}-b^{2}c-abc\\ &&+ca^{2}+b^{2}c+c^{3}-abc-bc^{2}-c^{2}a\\ &=&a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\end{eqnarray*}$

(2)の問題の解説

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0\Longrightarrow a+b+c=0$ という命題の真偽を調べます。

$a=b=c=1$ は $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ を満たしますが、 $a+b+c=3$ ですので $a+b+c=0$ という条件は満たしません。

よって $a=b=c=1$ は反例になりますので、この命題は「偽」ということになります。

したがって、 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ は $a+b+c=0$ であるための十分条件ではないことがわかります。

$a+b+c=0\Longrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ という命題の真偽を調べます。

(1)の問題を用いると

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca)$

であることがわかります。

この式より $a+b+c=0$ ならば、 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ であることがわかります。

よって、この命題は「真」であることがわかりますので、 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ は $a+b+c=0$ であるための必要条件であることがわかります。

以上より、 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=0$ であることは $a+b+c=0$ であるための（必要条件であるが十分条件ではない）となります。

いかがだったでしょうか？

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ という式はあまり入試問題などには出てきませんので忘れがちではあります。

ですが、このような類の問題では覚えておくと一瞬で問題を解くことができます。

万が一忘れてしまった場合は条件をうまく使えばこの公式を使わずに解くこともできます。

利用価値があるかどうか微妙な感じですが、覚えておくと損はないかと思います。

それでは！またのお越しをお待ちしております！(^^)/

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。