マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

東京都教員採用試験の問題ver.20220629

図形と計量・図形の性質必要条件・十分条件教員採用試験の過去問

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今週は東京都教員採用試験の問題です。

今回は大問1の5問と6問です。

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

図形の問題と必要条件・十分条件の問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1) 三角形の成立条件は、一番小さい辺の長さに注目すると

$(a+2)-a＜a＜(a+2)+a$

が成り立ちます。これを解くと、 $a＞4$ です。

また、三角形が鈍角三角形になる条件は、辺の長さが一番大きいものに注目すると

$(a+2)^{2}＞a^{2}+(a-2)^{2}$

となります。この不等式を解くと $0＜a＜8$ となります。

ここまで立てた2つの不等式が同時に成り立てば良いので、求める $a$ の値の範囲は $4＜a＜8$ となります。

(2)(i) $x=y=z=0$ ならば、 $x+y+z=0+0+0=0$ 、 $xy+yz+zx=0+0+0=0$ となります。

$x+y+z=0$ かつ $xy+yz+zx=0$ ならば、前者の式より $z=-(x+y)$ となりますので、これを後者の式に代入すると

$xy+z(x+y)=xy-(x+y)^{2}$

$=-x^{2}-xy-y^{2}$

$\displaystyle =-(x+\frac{1}{2}y)^{2}-\frac{3}{4}y^{2}$

この値が0なので $\displaystyle x+\frac{1}{2}y=0$ かつ $y=0$ したがって、 $x=0,y=0$ となります。

このとき、 $z=0$ となりますので $x=y=z=0$ であることが言えます。

以上から、 $x=y=z=0$ は $x+y+z=0$ かつ $xy+yz+zx=0$ であるための必要十分条件です。

(ii) 命題 $x\not= 0$ かつ $y\not= 0$ ならば $x+y\not= 0$ または $x-y\not= 0$ が真であることは、この命題の対偶 $x+y=0$ かつ $x-y=0$ ならば $x=0$ または $y=0$ を示せば良いです。

仮定の連立方程式を解くと $(x,y)=(0,0)$ ですので、結論を満たします。

命題 $x+y\not= 0$ または $x-y\not= 0$ ならば $x\not= 0$ かつ $y\not= 0$ については、 $x=y=1$ がこの命題の仮定を満たしますが、結論を満たさないものになりますので、これが反例となります。

以上から、 $x\not= 0$ かつ $y\not= 0$ は $x+y\not= 0$ または $x-y\not= 0$ であるための十分条件であるが必要条件ではないものとなります。

(iii) 下の図は $x^{2}+y^{2}\leqq 1$ と $|x+y|\leqq 1$ を図示したものです。

青いエリアが $x^{2}+y^{2}\leqq 1$ 赤いエリアが $|x+y|\leqq 1$ となります。

必要条件・従分条件の関係が成り立っていれば、この2つの集合には包含関係があります。

ですが、図を見る限り包含関係が成り立っていません。

したがって、 $x^{2}+y^{2}\leqq 1$ は $|x+y|\leqq 1$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

いかがだったでしょうか？

三角形の問題は成立条件を見逃しがちですので、ここに注意が必要です。

十分条件・必要条件の問題は、命題の真偽を丁寧に調べていくことが大切です。

　

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