徳島県教員採用試験の問題【2012年中高共通第1問】 - マーク方式の数学の問題を作ってみた。

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今週は2012年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。

今回は中高共通第1問です。

今回の問題の原文

$a,\ b$ を実数とする。次の(1)〜(4)について、［　］のは、ア「必要条件である」イ「十分条件である」ウ「必要十分条件である」エ「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが最も適当か記号で答えなさい。

(1) $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは $\triangle ABC$ が直角三角形であるための［　］

(2) $ab\gt 0$ は $a^{2}+b^{2}\gt 0$ であるための［　］

(3) $|a|\gt 1$ かつ $|b|\gt 1$ は $a^{2}+b^{2}\gt 1$ であるための［　］

(4) $a\geqq 0$ は $\sqrt{a^{2}}=a$ であるための［　］

今回の問題について

難易度は☆☆☆です。

必要条件・十分条件を判定する問題です。

難易度表記については以下の記事をご参照ください。

red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com

今回の問題の解説

(1)は「 $\triangle ABC$ が二等辺三角形ならば $\triangle ABC$ が直角三角形である」と「 $\triangle ABC$ が直角三角形ならば $\triangle ABC$ が二等辺三角形である」という命題の真偽を判定していきます。これらの命題はともに偽ですので、答えは「必要条件でも十分条件でもない」です。

(2)は「 $ab\gt 0$ ならば $a^{2}+b^{2}\gt 0$ である」と「 $a^{2}+b^{2}\gt 0$ ならば $ab\gt 0$ である」という命題の真偽を判定します。前者は真、後者は偽ですので、答えは「必要条件である」となります。

(3)については「 $|a|\lt 0$ かつ $|b|\lt 0$ ならば $a^{2}+b^{2}\lt 1$ である」という命題は $\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ が反例となりますので偽、 $a^{2}+b^{2}\lt 1$ ならば $|a|\lt 1$ かつ $|b|\lt 1$ である」という命題は真となりますので、答えは「必要条件である」となります。