必要条件・十分条件【必要条件・十分条件の判定のしかた】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。初回になりますので、必要条件・十分条件に関する問題の解き方を解説します。

必要条件・十分条件とは？

真偽（正しいか正しくないか）がはっきりしているものを「命題」と呼びます。

例えば「三角形の内角の和は $180^{\circ }$ である」や「無理数の和は無理数である」は真偽がはっきりしているので命題です。

「東京にはたくさんの人がいる」は真偽がはっきりしませんので命題ではありません。

ポイントは誰がどんな状況で考えても正しいか正しくないかが同じになるということです。「たくさん」は考える人によって基準が異なってきますので、「東京にはたくさんの人がいる」という主張が正しいか正しくないかの判断は考える人によって違ってきます。

必要条件・十分条件の問題は「 $p\Longrightarrow q$ 」（ $p$ ならば $q$ ）の形の命題を扱います。

この命題が真（正しい）場合は証明が可能です。偽（正しくない）場合は反例を示します。判例は仮定を満たし、結論を満たさないものを探します。

必要条件・十分条件の判定のしかた

「 $p\Longrightarrow q$ 」という命題が真であった場合、条件 $p$ に「十分条件」、条件 $q$ に「必要条件」と名前を付けます。

偽である場合は名前は付けません。

次に命題の逆「 $q\Longrightarrow p$ 」の真偽を調べます。

命題が真であった場合は $q$ に「十分条件」、 $p$ に「必要条件」と名前を付けます。

偽である場合は名前は付けません。

最後につけた名前をまとめます。条件 $p$ に「必要条件」のみ名前がついた場合は「条件 $p$ は条件 $q$ であるための必要条件であるが十分条件ではない」と解答します。

「必要条件」と「十分条件」両方とも名前がついた場合は「必要十分条件」、まったく名前がつかなかった場合は「必要条件でも十分条件でもない」と解答します。

この説明だけではわかりにくいかもしれませんので、実際に次の問題を解いてみます。

例題

必要条件・十分条件の判定のやり方を実際に問題を解きながら解説していきます。以下の問題は数学Ⅰの教科書に載っている例を問題にしたものです。

問題

$x$ は実数とする。（　）の中には「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」「必要条件でも十分条件でもない」のうち、それぞれどれが適するか。

(1) $x^{2}=9$ は $x=3$ であるための（　）

(2) $x^{2}=0$ は $x=0$ であるための（　）

(3) $x\gt 0$ は $x\not= 1$ であるための（　）

必要条件・十分条件の問題の解き方

「 $p$ は $q$ であるための（　）」という問題が出た場合の解き方を説明します。問題の解く手順は以下のようになります。

① $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べる。この命題が真であれば条件 $p$ に「十分条件」と名前をつける。

② $q\Longrightarrow p$ の真偽を調べる。この命題が真であれば条件 $p$ に「必要条件」と名前をつける。

③条件 $p$ についた名前をまとめる。

「十分条件」だけ名前をつけた→「十分条件であるが必要条件ではない」と解答する。

「必要条件」だけ名前をつけた→「必要条件であるが十分条件ではない」と解答する。

「十分条件」と「必要条件」の両方ともに名前をつけた→「必要十分条件である」と解答する。

名前をつけていない→「必要条件でも十分条件でもない」と解答する。

必要条件・十分条件の問題を解くときの注意点

真偽が「真」である命題は証明が可能であり、真偽が「偽」である命題は少なくとも１つ反例が存在します。ですが、ほとんどの問題に関しては証明や反例を示すことは求められていませんので、頭の中で証明が正しく行うことができたり、反例が１つ思いついたら次に進んでも大丈夫です。ややこしい問題は余白などを使って証明してみるのも良いです。

１．命題の真偽を調べているときに１つでも反例が出れば、その命題の真偽は「偽」なので次の手順に進む。

２．命題の真偽が「真」であると予想される場合は証明を試みてみる。

３．簡単そうな問題ほど油断しない。