マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2022年宮城大学前期日程】

必要条件・十分条件入試問題

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

$x,\ y$ は実数とする。

(1) $x+y\geqq 0$ は $x,\ y$ のうち少なくとも一方が $0$ 以上であるための（　）

(2) $x+y\geqq 10$ は $x,\ y$ のうち少なくとも一方が $10$ 以上であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

2022年宮城大学一般入試前期日程で出題された問題です。

かなり要注意な問題です。

(1)と同じように解くと(2)の正解には行き着きません。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $x+y\geqq 0\Longrightarrow x\geqq 0$ または $y\geqq 0$ の真偽を調べます。

この命題の対偶 $x\lt 0$ かつ $y\lt 0\Longrightarrow x+y\lt 0$ を考えてみます。

$x\lt 0$ かつ $y\lt 0$ であるとき

$\begin{eqnarray*} x+y&\lt &0+0\\ &=&0\end{eqnarray*}$

となり、この命題が正しいことが証明できます。

対偶の真偽と元の命題の真偽は一致しますので、この命題は真の命題となります。

命題 $x\geqq 0$ または $y\geqq 0\Longrightarrow x+y\geqq 0$ の真偽を調べてみます。

$x=1,\ y=-2$ は $x\geqq 0$ または $y\geqq 0$ を満たしていますが、 $x+y=-1\lt 0$ ですので、結論の $x+y\geqq 0$ を満たしていません。

したがって、この命題は偽の命題となります。

以上から、 $x+y\geqq 0$ は $x,\ y$ のうち少なくとも一方が $0$ 以上であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 $x+y\geqq 10\Longrightarrow x\geqq 10$ または $y\geqq 10$ の真偽を調べます。

$x=5,\ y=6$ のとき、 $x+y=11\geqq 10$ となっているので、仮定の $x+y\geqq 10$ を満たしています。

ところが、 $x$ と $y$ ともに $10$ より小さい値ですので「 $x\geqq 10$ または $y\geqq 10$ 」を満たしていません。

したがって、 $x=5,\ y=6$ が反例となりますのでこの命題は偽の命題となります。

命題 $x\geqq 10$ または $y\geqq 10\Longrightarrow x+y\geqq 10$ の真偽を調べます。

$x=11,\ y=-12$ のとき、 $x\geqq 10$ ですので、仮定の $x\geqq 10$ または $y\geqq 10$ の条件を満たしています。

ところが、 $x+y=-1$ となっていますので、結論の $x+y\geqq 10$ の条件を満たしていません。

したがって、 $x=11,\ y=-12$ が反例となりますので、この命題は偽の命題となります。

以上から、 $x+y\geqq 10$ であることは $x,\ y$ のうち少なくとも一方が $10$ 以上であるための「必要条件でも十分条件でもない」となります。

いかがだったでしょうか？

(1)の問題は対偶が分かればなんとかいける感じがします。

あとは反例を探すことを考えれば容易に見つけることができます。

(2)は反例を探すことに集中してみると良いかもしれません。

　

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