必要条件・十分条件の問題【2021年常葉大学一般入試前期日程2日目】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

今回の問題

$a,\ b$ は実数とする。

(1) $ab=5$ であることは $a=1$ かつ $b=5$ であるための（　）

(2) $ab\lt 0$ であることは $|a|+|b|=|a-b|$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

常葉大学一般入試で出題された問題です。

2023年度入試まで必要条件・十分条件の問題が出題されていることが確認されましたので、しばらくはこの大学の問題を紹介していきます。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $ab=5\Longrightarrow a=1$ かつ $b=5$ の真偽を調べます。

$a=5,\ b=1$ は $ab=5$ を満たしていますが、 $a=1$ かつ $b=5$ を満たしていません。

これが反例となりますので、この命題は偽となります。

命題 $a=1$ かつ $b=5\Longrightarrow ab=5$ は真です。

以上から、 $ab=5$ は $a=1$ かつ $b=5$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

(2)の問題について

結論の等式の右辺と左辺の大小関係を見ていきます。

$\begin{eqnarray*} (|a|+|b|)^{2}-|a-b|&=&a^{2}+2|ab|+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})\\ &=&a^{2}+2|ab|+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}\\ &=&2(|ab|+ab)\geqq 0\end{eqnarray*}$

等号成立は $|ab|=-ab$ すなわち $ab\leqq 0$ のときであるとわかります。

したがって、命題 $ab\lt 0\Longrightarrow |a|+|b|=|a-b|$ は真、命題 $|a|+|b|=|a-b|\Longrightarrow ab\lt 0$ は $a=b=0$ が反例となりますので偽となります。

よって、 $ab\lt 0$ は $|a|+|b|=|a-b|$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

いかがだったでしょうか？

(2)の問題は反例を見つけることが難しいので、証明を試みてみることから始めてみました。

条件が等号が成立している状態であることですので、そこから反例を見つけ出すと楽ではないかと思います。

証明を試みなくても、命題 $|a|+|b|=|a-b|\Longrightarrow ab\lt 0$ の反例は見つかるかもしれませんが、その逆が真であることが気が付かず、反例を見つけるのに時間がかかってしまいます。

このような問題は反例を挙げることも証明をすることも求められていませんので、サクッと終わらせたいですね。

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