マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2021年都立看護専門学校】

入試問題必要条件・十分条件

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

条件 $p,\ q$ について、「 $p$ は $q$ であるための十分条件であるが必要条件ではない」ものは次のうちどれか。ただし、 $x,\ y$ は実数とする。

① $p:|x|\gt 2\ \ q:x\lt -3$

② $p:x^{2}+y^{2}=0\ \ q:x=0$ かつ $y=0$

③ $x+y\gt 0\ \ q:xy\gt 0$

④ $p:x=y\ \ q:x^{2}=y^{2}$

⑤ $p:x$ は $2$ の倍数 $\ \ q:x$ は $4$ の倍数

今回の問題について

令和3年度の都立看護専門学校の問題からです。

$p$ が $q$ であるための十分条件であるが必要条件ではないものを選ぶ問題です。

ですので、以下の手順で解いていきます。

(1) $p\Longrightarrow q$ が真であるかどうかを調べる。ここでこの命題が偽であることが確認できればストップ。

(2) $q\Longrightarrow p$ が偽であるかどうかを調べる。この命題が真であれば「必要十分条件」となるので選択肢から外す。

集合を用いたほうが早そうであればそちらを使うことにします。

今回の問題の解説

① $|x|\gt 2$ の解は $x\lt -2,\ 2\lt x$ となります。

ここで $P=\{ x|x\lt -2,\ 2\lt x\}\ \ Q=\{ x|x\lt -3\}$ とすると、 $Q\subset P$ という包含関係が成り立ちますので、 $p$ は $q$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

② $x^{2}+y^{2}=0\Longrightarrow x=0$ かつ $y=0$ は真です。また、 $x=0$ かつ $y=0\Longrightarrow x^{2}+y^{2}=0$ も真ですので $p$ は $q$ であるための「必要十分条件」となります。

③ $x+y\gt 0\Longrightarrow xy\gt 0$ の真偽を調べます。

$x=2,\ y=-1$ は $x+y=1\gt 0$ を満たしますが、 $xy=-2\lt 0$ となり結論を満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽となります。

この時点で「 $p$ は $q$ であるための十分条件であるが必要条件ではない」には該当しませんので、選択肢から外します。

④ $x=y\Longrightarrow x^{2}=y^{2}$ は真です。

$x^{2}=y^{2}\Longrightarrow x=y$ の真偽を調べます。

$x=1,\ y=-1$ は $x^{2}=y^{2}=1$ ですが $x=y$ は満たしていません。これが反例となりますので、この命題は偽です。

以上から $p$ は $q$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となりますので、これを選択肢に入れます。

⑤自然数全体の集合を ${\bf N}$ 、集合 $P,\ Q$ を $P\{ x|x=2n,n\in {\bf N}\} ,\ Q=\{ x|x=4n,n\in {\bf N}\}$ とおくと、包含関係 $Q\subset P$ が成り立ちますので、 $p$ は $q$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

以上から、答は④です。

いかがだったでしょうか？

都立看護専門学校の入試では令和3年以降、必要条件・十分条件に関する問題が毎年出題されているようです。

今回のような問題も2年に1度出題されているようで、同じパターンでいくと次は令和7年度に出そうです。

ですが、令和6年度で出題されないとは限りませんので、対策は必要かと思います。

やることは $p\Longrightarrow q$ の命題と[tex; q\Longrightarrow p]の命題を組み立てて真偽を調べることですので、問題集やセンター試験の過去問を解くと良い対策になるかと思います。

　

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