マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【2022年広島市立看護専門学校】

入試問題必要条件・十分条件

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解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！

今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

(1)実数 $a,\ b$ に対し、「 $ab=0$ かつ $a\not=0$ 」であることは $b\not=0$ 」であるための（　）

(2) $p,\ q$ を実数とする。「 $p+q\gt 0$ かつ $pq\gt 0$ 」であることは「 $p\gt 0$ かつ $q\gt 0$ 」であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

今回の問題について

今回の問題は2022年度の広島市立看護専門学校の入試問題です。

命題を作って真偽を調べる方法で判断するとやりやすいです。

今回の問題の解説

(1)の問題について

$ab=0$ かつ $a\not=0\Longrightarrow b=0$ の真偽を調べます。

$ab=0$ であれば、 $a=0$ または $b=0$ となりますが、 $a\not=0$ ですので $b=0$ となります。

したがって、この命題は真となります。

$b=0\Longrightarrow ab=0$ かつ $a\not=0$ の真偽を調べます。

真に思える命題ですが、 $a=b=0$ は仮定の $b=0$ を満たしていますが結論の $a\not=0$ を満たしていません。

これが反例となりますので、この命題は偽となります。

以上から、 $ab=0$ かつ $a\not=0$ であることは $b=0$ であるための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

$p+q\gt 0$ かつ $p+q\gt 0\Longrightarrow p\gt0$ かつ $q\gt 0$ の真偽を調べます。

$p+q\gt 0$ から $p$ と $q$ のうち少なくとも一方が正の数であることがわかります。

なぜなら、不等式を変形すると $p\gt -q$ ですが、 $q$ が負の数なら $-q$ が正の数となるからです。

$pq\gt 0$ から $p$ と $q$ は同符号であることがわかります。

以上から、 $p$ と $q$ のうち少なくとも一方が正の数で2つは同符号の数であることがわかりましたので $p\gt 0$ かつ $q\gt 0$ ということになります。

よってこの命題は真です。

$p\gt 0$ かつ $q\gt 0\Longrightarrow p+q\gt 0$ かつ $pq\gt 0$ の真偽を調べます。

$p\gt 0$ かつ $q\gt 0$ ですので $p+q\gt 0$ です。

また、 $p$ と $q$ は同じ符号ですので $pq\gt 0$ です。

したがって、この命題は真です。

以上から、 $p+q\gt 0$ かつ $pq\gt 0$ であることは $p\gt 0$ かつ $q\gt 0$ であるための「必要十分条件」となります。

いかがだったでしょうか？

数に関する基礎的な問題でした。

看護専門学校でもこのような問題が出題されることがありますので、専門学校の入試問題だからといって油断は禁物です。

　

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