マーク方式の数学の問題を作ってみた。

仕事や趣味で数学の問題を解いています。その解いた問題や他に作った問題をマーク方式の問題にして出題しながら日常をつぶやきます。

必要条件・十分条件の問題【常葉大学2023年一般入試前期日程2日目】

必要条件・十分条件入試問題

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

目次

・今回の問題
・今回の問題について
・今回の問題の解説
・いかがだったでしょうか？

今回の問題

実数 $a,\ b,\ c$ に対し、条件 $p,\ q,\ r$ を

$p:a=b=c=0$

$q:a^{3}-b^{3}=c^{3}$

$r:a+b+c=0$ かつ $ab+bc+ca=0$

で定める。次の（　）に当てはまるものを「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちから1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでも良い。

(1) $a,\ b,\ c$ が条件 $p$ を満たすことは、 $a,\ b,\ c$ が条件 $q$ を満たすための（　）

(2) $a,\ b,\ c$ が条件 $p$ を満たすことは、 $a,\ b,\ c$ が条件 $r$ を満たすための（　）

今回の問題について

2023年常葉大学一般入試の2日目で出題された問題です。

(2)は対称式の式変形に関する知識がないと厳しいかもしれません。

今回の問題の解説

(1)の問題について

命題 $p\Longrightarrow q$ の真偽を調べます。

条件 $p$ は $a=b=c=0$ ですので、条件 $q$ にある $a,\ b,\ c$ の文字全てに $0$ を代入して成り立てばこの命題は真であることがわかります。

条件 $q$ は等式になっていますので、右辺と左辺それぞれを計算して値が等しいことを確かめます。

実際に計算すると $a^{3}-b^{3}=0,\ c^{3}=0$ となりますので、右辺も左辺も値が $0$ で等しいことが言えました。

よって、この命題は真の命題です。

命題 $q\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

$c=0$ に設定してみると、条件 $q$ は $a^{3}-b^{3}=0$ となります。

この等式を変形すると $a^{3}=b^{3}$ となりますので、この等式から $a=b$ となるようなものを探せば良いということになります。

$a=b=0$ に設定すると条件 $p$ を満たしますが、それ以外の値を設定すると条件 $p$ は満たしません。

例えば $a=b=1,\ c=0$ のとき条件 $q$ を満たしますが、条件 $p$ を満たしませんので、これが反例となります。

よって、この命題は偽の命題となります。

以上から、 $a,\ b,\ c$ が条件 $p$ を満たすことは $a,\ b,\ c$ が条件 $q$ を満たすための「十分条件であるが必要条件ではない」となります。

(2)の問題について

命題 $p\Longrightarrow r$ の真偽を調べます。

$a=b=c=0$ ですので

$a+b+c=0+0+0=0$

$ab+bc+ca=0\cdot 0+0\cdot 0+0\cdot 0=0$

となりますので、条件 $r$ を満たします。

したがって、この命題は真の命題です。

命題 $r\Longrightarrow p$ の真偽を調べます。

3文字の対称式について次が成り立ちます。

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)$

この等式は次のように左辺を展開して整理することにより証明することができます。

$\begin{eqnarray*} (a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)&=&a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\\ &&-2ab-2bc-2ca\\ &=&a^{2}+b^{2}+c^{2}\end{eqnarray*}$

この等式と条件 $r$ から $a^{2}+b^{2}+c^{2}=0$ となりますので、 $a=0$ かつ $b=0$ かつ $c=0$ すなわち、 $a=b=c=0$ （条件 $p$ ）を満たします。

したがって、この命題は真の命題です。

以上から、 $a,\ b,\ c$ が条件 $p$ を満たすことは、 $a,\ b,\ c$ が条件 $r$ を満たすための「必要十分条件」となります。

いかがだったでしょうか？

$a=b=c=0$ を代入して等式が成り立っていることを確かめることは簡単です。

ですが、逆の条件式から $a=b=c=0$ を言うところが難しいかもしれません。

特に(2)の証明は対称式に関する知識がないと導けない可能性があるので、対称式の問題には慣れておきたいところです。

　

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