必要条件・十分条件の問題【2023年東京都教員採用試験】

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今回は必要条件・十分条件の問題です。

$x,\ y$ を実数とするとき、 $x^{2}+y^{2}\lt 1$ は、 $|x|+|y|\lt 1$ であるための（　）

（　）には「必要十分条件」、「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要条件でも十分条件でもない」のうちそれぞれどれが適するか。

令和5年度の東京都教員採用試験の過去問です。

必要条件・十分条件に関する問題は共通テストや大学入試だけでなく、教員採用試験でも出題されています。

ですので、数学科で教員採用試験を受けるのにも対策が必要ということですね。

今回の問題は、命題を作って真偽を確かめる方法で進めると大変です。

反例を見つけるのにも時間がかかりそうです。

そこで、図示をして集合の包含関係を見る方法で解きます。

条件 $p$ と $q$ があって、条件 $p$ を満たす全体の集合を $P$ 、条件 $q$ を満たす全体の集合を $Q$ とします。であるとします。

このとき、 $P\subset Q$ が成り立てば、命題 $p\Longrightarrow q$ が真の命題であることが言えます。

$P=\{ (x,y)|x^{2}+y^{2}\lt 1\}$

$Q=\{ (x,y)||x|+|y|\lt 1\}$

とおきます。不等式 $x^{2}+y^{2}\lt 1$ と $|x|+|y|\lt 1$ の表す領域を図に表すと、以下のようになります。

$x^{2}+y^{2}\lt 1$ を満たす領域を青色、 $|x|+|y|\lt 1$ を満たす領域を赤色にしています。

この図を見ると $Q\subset P$ を満たしていますので、次の命題が真の命題であることが言えます。

$|x|+|y|\lt 1\Longrightarrow x^{2}+y^{2}\lt 1$

したがって、 $x^{2}+y^{2}\lt 1$ は $|x|+|y|\lt 1$ であるための「必要条件であるが十分条件ではない」となります。

反例を見つけるのが大変そうだと思ったときは、図に描いたりして包含関係を見てあげると簡単に行く場合があります。

今回の問題もそのパターンでした。

ただ、絶対値を含む不等式を処理するのが大変でした。

教員採用試験で出題されているくらいですから、そう簡単にはいかないということかもしれませんね。

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マーク方式の数学の問題を作ってみた。